SS) peeA 
dove le 5 rappresentano tutti i sistemi di soluzioni delle equazioni lineari 
n 
(161) 4g = da Wa =0 (SISSIMO N, 
k=1 
Il sistema delle (160) è, in sostanza, quello dei primi membri delle equazioni 
del sistema aggiunto al sistema dei covarianti evidenti di 1° ordine. Se poniamo che 
questi sieno linearmente indipendenti, il numero dei sistemi di È è esattamente n — 2; 
cioè g può prendere i valori 1,2,..n — 7; in altro caso tal numero è maggiore 
dint—-m. 
Completando la definizione data nel $ 28 diremo che un sistema di equazioni 
ai differenziali totali di ordine r (151) ammette una trasformazione infinitesima, 
quando l'applicazione (v. $ 27) di questa a ciascuna delle X{} dà per risultato una 
combinazione lineare delle X{) stesse. 
Il teorema importante che possiamo allora dimostrare è il seguente : 
Se il sistema dato (151) è completamente integrabile, esso ammetterà tutte 
le trasformazioni infinitesime (160) del proprio sistema aggiunto. 
La differenza fra il caso ordinario noto di 7 = 1, cioè il caso delle equazioni 
pfaffiane e il caso di 7 >1 è questa: che per 7= 1 questa condizione non è solo 
necessaria per la completa integrabilità, ma anche sufficiente; qui invece essa è solo 
necessaria. 
La dimostrazione del teorema è semplice. 
In (161) sostituiamo a Xx i valori (159); sì ha: 
cioè 
donde, essendo diverso da zero il determinante delle Z, si ha 
sap=0. 
Intanto da (158) si ha: 
Mm ULI 
ZEX8=\ LETW4 ) d'yi Eh, 
Si = 
