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L'ordine di idee che si segue in questi lavori è alquanto diverso da quello che 
ci ha guidati nello svolgimento di tutta questa Memoria, e si accosta solo alle con- 
siderazioni fatte nel $ 5; noi tralasceremo di trattarne, rimandando alle Note citate. 
2) La completa integrabilità dei sistemi di equazioni ai differenziali totali 
di 2° ordine, ma non del tipo precedente, sibbene del tipo generale, cioè coi diffe- 
renziali secondi di tutte le variabili. 
Di ciò tratta specialmente la Memoria: Introduzione alla teoria invariantiva 
delle equazioni di tipo generale ai differenziali totali di 2° ordine (Ann. di Matem. 
(3), t. 7, 1901), lo scopo della quale è specialmente quello di estendere nella sua 
integrità il teorema cui abbiamo accennato nel paragrafo precedente, che cioè come 
per i sistemi pfaffiani è condizione necessaria e sufficiente per la completa integra- 
bilità, l’invariantività del sistema per tutte le operazioni di 1° ordine (trasforma- 
zioni infinitesime) rappresentate dai primi membri delle equazioni del sistema aggiunto, 
così per i sistemi di 2° ordine è condizione necessaria e sufficiente per la completa 
integrabilità, l’invariantività per tutte le operazioni di 1° e 2° ordine rappresentate 
dai primi membri delle equazioni del sistema aggiunto. 
Nel paragrafo precedente, di tali operazioni abbiamo considerato solo quelle di 
1° ordine, e allora naturalmente l’invariantività delle equazioni rispetto ad esse 
(il porre cioè che il risultato dell'applicazione di una di esse al primo membro di 
una delle equazioni date, sia una combinazione lineare delle equazioni del sistema) 
è condizione solo necessaria, ma non sufficiente, per la completa integrabilità. 
L'introduzione delle operazioni di ordine superiore al primo, porta d'altra parte 
con sè alcune complicazioni. 
Si sa inoltre che per le equazioni pfaffiane, se il sistema dato è completamente 
integrabile, il sistema aggiunto di equazioni a derivate parziali è completo, e vice- 
versa, e questo teorema è intimamente legato col precedente. 
Ora anche di questo teorema cercai l'estensione per le equazioni di 2° ordine, 
estendendo in modo opportuno il concetto di sistema completo per le equazioni a 
derivate parziali di 2° ordine. 
3) L'equivalenza di due forme differenziali complete di 2° ordine, cioè la 
ricerca delle condizioni perchè esista una trasformazione dell'una forma nell'altra. 
Di questo problema mi occupai nella Nota: Sulla equivalenza di due sistemi di 
forme differenziali multilineari, e su quella di due forme differenziali complete 
di 2° ordine (Rend. Circ. mat. di Palermo, t. 22, 1906) facendo vedere come si 
può estendere la nota ricerca di Christoffel, e il concetto di curvatura Riemanniana; 
per una forma differenziale di 2° ordine si definiscono due curvature; le ordi- 
narie forme differenziali quadratiche a curvatura costante sono forme di 2° or- 
dine di cui la prima curvatura è costante e la seconda è zero. 
4) L'ultimo problema del quale mi sono occupato nella teoria delle forme 
di 2° ordine, è quello di fissare mediante le caratteristiche di alcune delle matrici 
a caratteristica invariante, di cui abbiamo trattato in generale nel $ 20, le condi- 
zioni necessarie e sufficienti perchè la forma sia riducibile a tipi speciali. 
Di ciò trattai in due Note: Sulle matrici a caratteristiche invarianti nella 
teoria delle forme ai differenziali di 2° ordine (Rend. Ist. Lomb. (2), t. 35, 
