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1902); Altre ricerche sulle matrici a caratteristiche invarianti nella teoria delle 
forme ai differenziali di 2° ordine (Ibid. (2), t. 36, 1903), e mi limiterò qui ad 
enunciare i risultati ottenuti. 
I. Condizione necessaria e sufficiente perchè una forma differenziale di se- 
cond’ordine X® sia riducibile alla forma 
(162) ed°[ 
(cioè l'equazione X® = 0 sia completamente integrabile) è che sia 2 la caratteri 
stica della matrice (v. $ 20) 
(M) + (M}} + (Ma, 
ammenochè però non sieno tutte zero le espressioni (i ,j) formate coi coefficienti 
della forma (v. S 16). 
Se poi la predetta caratteristica è 1 la forma è un differenziale secondo 
esatto e viceversa. 
Questo teorema ne ricorda uno simile per le forme pfaffiane (vedi Ed. v. Weber, 
Vorl. uber das Pfaff'sche Problem, ete. Leipzig, 1900, pag. 127). 
II. Una forma differenziale di 2° ordine X® per cui sieno zero tutte le 
espressioni (i ,j) senza però che sieno zero tutti i coefficienti X;, è riducibile 
alla forma 
(163) d°f— (dp), 
in cui le funzioni f e 4 sono indipendenti, se sono rispettivamente 1 e 2 le ca- 
ratteristiche delle due matrici 
(M); 
(M): + {M} + (M):. 
Per la riducibilità alla precedente forma tali condizioni sono anche necessarie. 
III. Una forma X® di cui sieno zero tutti i coefficienti ad un indice Xi, 
è riducibile alla forma 
(164) (0d9)?, 
dove 0 e gp sono due funzioni indipendenti, se è 2 la caratteristica della matrice 
(M)i + (M}1 + (M)» 
che in questo caso è la stessa della 
{M}\ + (M)»; 
e viceversa, per una forma del precedente tipo sono zero le X; ed è 2 la detta 
caratteristica. 
