— 160 — 
mais, ce qui est particulièrement important, fournit encore un moyen simple pour 
résoudre le second problème (B), je me suis borné, dans mes recherches, à la sup- 
position que la fonction donnée p(x) reste positive et ne s'annule pas dans l’inter- 
valle (a, d), ce qui est essentiel pour la possibilité du problème (B). 
Récemment MM. Mason, S. Sanielevici et Mauro Picone ont publié leurs re- 
cherches pour établir l’existence des nombres caractéristiques Zx et des fonctions fon- 
damentales Vx(z), vérifiant les équations (I), dans le cas général, où la fonction 
p(x) est assujettie è une seule condition d'étre continue dans l'intervalle (4, 5). 
M. Mason ramène le problème à un problème des mzrima, MM. Sanielevici et 
M. Picone transforment l’équation différentielle en équation fonetionnelle abelliènne, 
étudiée pour la première fois par M. Vito Volterra et puis par MM. Fredholm et 
Hilbert, qui ont développé la théorie générale de ces équations, connues maintenant 
sous le nom d’équations intégrales (Integralgleichungen) (?). 
Il peut sembler que l’hypothèse que p(x) reste positive dans l'intervalle donné 
est essentielle pour l'application directe de la meéthode de Schwarz-Poincaré è la 
démonstration de l'existence des fonctions fondamentales, c'est è dire pour la solu- 
tion du problème (A), par cette meéthode (Voir, par. exemple, le Mémoire cité de 
M. Sanielevici, Annales de l'École Normale, 1909, pag. 22). 
Or, il est aisé de s'assurer qu’une modification légère des raisonnements de mon 
Mémoire: Probléme de refroidissement ete., suffit pour résoudre le problème (A) 
dans toute sa généralité, sans recourir aux considérations assez compliquéges et, à 
mon point de vue, etrangères au problème pris en lui méme. 
2. Considérons l’équation (Voir mon Mémoire: Prodlèéme de refroidissement ete., 
pag. 285) 
(2) V'(@) + (4p(e)— a(2)) Ve) + f(2)=0, 
jointe aux conditions 
(8) V'(a) —AV(a) =0, 
V'(0) -+HV(2)=0, 
où f(x) est une fonction donnée. 
Supposons que, la fonction g(x) restant toujours positive, la fonetion p(a) sozt 
assujettie à la seule condition d'étre continue dans l'intervalle (a , bd). 
Cherchons, comme dans le Mémoire cité, une solution des équations (2) et (3) 
sous la forme de la série 
(4) V(2) = 00) + 400) + #°0.(0) ++ Pos()A 
(1) Je profite de l’occasion pour remarquer que le mème procédé a été appliqué à l’équation 
(1) (l’équation de Sturm-Liouville) par M. A. Kneser trois ans avant l’apparition des recherches 
de MM. Sanielevici et M. Picone. Les auteurs ne font cependant aucune allusion è ces recherches 
de M. Kneser. Le Mémoire de M. Kneser (Mathematische Annalen, Bd. 683) leur est, évidemment, 
échappé. 
