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La fonction V se représente sous la forme 
où P est une fonction de # et de 7, holomorphe en #, pourvu que || ne surpasse 
pas un nombre M qu’on peut prendre si grand qu'on le veut, D(X) est un polynome 
en % dont les racines représentent les pòles de la fonction V. 
Quant è la fonction P, elle satisfait aux conditions 
P"+ p—q)P+fD4)=0, (a<x<bd) 
(14) P'(a) — KP(a) = 0, 
P'(8) +HP(2)=0. 
Ce théorème, établi dans mon Mémoire cité (p. 210) sous la supposition que 
la fonction p(x) reste positive et ne s'annule pas dans l’intervalle (a, d), reste done 
vrai, quelle que sott la fonction p(x), assufettie à une seule condition d’étre con- 
tinue entre a et b (!). 
8. Il ne nous reste quà démontrer que tous les poles de la fonction V(a), 
considérée comme fonetion du paramètre k, sont réels et simples. 
Pour cela il suffit d’employer les raisonnements analogues à ceux de M. H. Poin- 
caré dont je faisais l'usage déjà plusieurs fois dans mes recherches antérieures sur 
les équations de la physique mathématique (?). 
Soit 4, l'une des racines de polynome D(X),P, la valeur de P pour 4 = o. 
On a 
Po + (Kp— 9)Po=0, 
(15) Pi(a) — KP(a)= 0, 
P;(6) + HP,(2)=0. 
Supposons que 
(16) ki, =@a+8, Po=P1+?Pr. 
On trouve aisément, 
b 
(17) 8 f s(ei+edde=o. 
D'autre part, les équations (15) et (16) conduisent è la suivante 
cf p(Pî-4 P9) de — HE(P(6)+ Pi) + 22(Pila) + Pi) + 
(e) ie 
b b 
+ f cer enae 4 f (eroe 
(*) On suppose, sans doute, que 9g(2) reste toujours positive. 
(*) Voir, par exemple, mon Ouvrage: Zes méthodes générales pour résoudre les problèmes 
fondamentaua de la physique mathématique, Kharkow, 1901 (pp. 212-218), le Mémoire: Zkéorie 
générale des fonctions fondamentales, Annales de Toulouse, 1905 (pp. 378-883) ete. 
