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où 
dip 
Go = 
Li dk? 
est différent de zéro pour X=% qui est d’ailleurs la racine simple de polynome 
D°(k). 
Il s'ensuit que tous les poles de la fonetion V sont simples (Compar. mon Mém.: 
Théorie générale des fonctions fondamentales, Annales de Toulouse, pp. 379-381). 
10. Les recherches précédentes montrent que la méthode, employée dans mon 
Mémoire: Problème de refroidissement ete. sous la supposition particulière que la 
fonction p(x) reste positive et ne s'annule pas dans l’intervalle (a, 2), s étend sans 
difficulté au cas général, cù p(x) est assujettie è une seule condition d'ètre continue 
dans l'intervalle considéré, et conduit immédiatement è ce théorème général: 
Quelle que soit la fonction p(x), continue dans l’intervalle donné (a, bd), q(e) 
une autre fonction continue et positive dans cet intervalle, il eriste toujours 
une infinité de nombres réels 4, (nombres caractéristiques) et de fonetions cor- 
respondantes Vs (fonctions fondamentales) satisfaisant aua équations (1). 
Les nombres 4, sont tous posttifs, s'il en est de méme de la fonetion p(x); 
ils sont tous négatifs, st p(x) reste négative dans l’intervalle (a, db); si, enfin, p(a) 
change son signe dans cet intervalle, les nombres caracteristiques À, se décompo- 
sent en deux groupes dont l'un contient, en général, une infinité de nombres né- 
gatifs, l'autre une infinité de nombres positifs. 
Si nous désignons par ls, le module d'un nombre quelconque A,, on aura 
Ùn 
dp 
hSbpEShbhS°Sh 
ls tendant vers l'infini, lorsque l'indice s croît indéfinimment (’). 
Je remarquerai encore que les raisonnements précédents s'appliquent sans aucune 
difficulté è l'équation plus générale de la forme 
(1) La démonstration de cette propriété des nombres /s est tout è fait analogue è celle que 
j'ai donnée au n° 14 (p. 299) de mon Mémoire: Problème de refroidissement ete., pour le nom- 
bre kn. 
Il suffit seulement de remarquer que dans le cas général que nous considérons ici, le produit 
b pi 
ds Jh pV.da 
a 
reste toujours positif; on peut donc toujours choisir les fonctions Vs de fagon que l’on ait 
b 2 
tf, pVida= 
a 
et, par suite, appliquer presque textuellement les raisonnements du n° 14 au cas considére. 
