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où n et / sont les fonctions positives, g une fonction continue dans un intervalle 
donné, jointe aux conditions 
a,V(a) + a2V(a) + a:V(0) + aV'(0)=0, 
bdiV(a) + b:V(a) + 83V(0) +- d,V'(6) = 0, 
où a; et d;, sont des constantes satisfaisant aux certaines conditions, mais ici je 
n'insiste pas sur ce point (1) 
11. Je terminerai mes recherches par les remarques suivantes. Nous avons sup- 
posé jusqu'àè présent que les fonetions p(x) et g(x) soient continues dans l’intervalle 
donné (a,b). 
Mais la méthode précédente s'étend. presque sans modification au cas plus gé- 
néral. 
Supposons que les fonctions p(x) et g(x), dont la dernière reste positive dans 
l'intervalle (4, d), soient assujetties è la seule condition d’étre intégrables (au sens 
de Riemann). 
Dans ce cas p(x) et g(x) restent continues pour tous les points de l’intervalle 
(a,5) sauf pour un ensemble de points de mesure nulle que nous désignerons par E. 
Les raisonnements précédents s’appliquent immédiatement à ce dernier cas et 
démontrent l’existence des nombres 4; et des fonctions fondamentales V, (s=1,2,3,...), 
continues avec leurs dérivées de deux premiers ordres en tous les points de l’inter- 
valle (a, ) sauf aux points formant un ensemble que nous avons désigné par E (?). 
Ces fonctions Vs satisfont aux équations (1) en tous les points de l’intervalle 
(a,0) sauf aux points formant l'ensemble E de mesure nulle. 
Si nous supposons encore que p(x) reste aussi positive entre 4 et 2, nous ob- 
tiendrons la solution du problème de refroidissement d'une barre, composée d’un 
nombre quelconque des barres hétérogènes physiquement différentes entre elles. 
Cela résulte d’un théorème de la théorie des équations ordinaires linéaires dont 
la démonstration ne présente aucune difficulté. 
Soit 
dyi i 
RA da piyi page ++ pia (i=1,2,3,..,2) 
un système d'équations linéaires, où py (s=1,2,83,..,%) sont les foncetions don- 
nées de la variable réelle x, intégrables dans l’intervalle donné (a, è) et continues 
au point x = a. 
Les fonctions p;; seront continues à la fois en tous les points de l’intervalle 
(a, 0), sauf aux points d'un ensemble E de mesure nulle. 
Il existe toujours un système de n fonctions 
Y13Y2, 000 3Yn 
(4) Voir ma Note: Sur un théorème général d'existence des fonctions fondamentales ete. 
Comptes rendus, 21 févr. 1910. 
(*) Il faut seulement supposer que les fonctions p(x) et g(7) restent continues aux extrémités 
de l’intervalle (a, 2). 
