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continues avec leurs dérivées du premier ordre en tous les points de l’intervalle 
(a,b), sauf aux points de l'ensemble E, se réduisant aux constantes données 
CARO INRESSI (05 
pour «= et satisfaisant aux équations (19) en tous les points de l’intervalle (4, d), 
sauf aux points de l'ensemble E. 
12. La méthode précédente s'applique immédiatement à la démonstration de 
l’existence des fonctions fondamentales correspondant à l’équation différentielle du 
4ième ordre de la forme 
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(20) Pot ipa) O V=0. 
qui se rencontre dans la théorie des vibrations d'une verge élastique. 
Dans le cas, où p(x) et g(«) restent positives dans l'intervalle donné (a, 2), 
la méthode, développée dans mes Mémoires: Problème de refroidissement ete., et 
Sur certaines égalités communes ete. (Mém. de l’Académie de Sciences de St-Pé- 
tersbourg, 1904), conduit pour les fonctions fondamentales Vs (s=1,2,8,...), cor- 
respondant à l’équation (20), aux égalités générales, analogues è celles que j'ai éta- 
blies dans le dernier de ces deux Mémoires. 
De ces égalités résultent immédiatement les théorèmes sur la possibilité du 
développement d’une fonction arbitraire en séries procédant suivant les fonetions V,, 
analogues è ceux que j'ai démontrés dans mon Mémoire: Probléme de refroidisse- 
ment etc., ainsi que dans ma Note: Sur une problème d’ Analyse intimement lié 
avec le problème de refroidissement d'une barre hétérogène (Comptes Rendus, le 
8 avril 1907) (1). 
L’étude detaillée de ce problème fera l'objet d'un travail d'un de mes éleves, 
M. Tamarkine; son Article paraîtra dans peu de temps dans les Communications 
de la Société Mathématique de Kharkow. 
(!) Je profite de l’occasion pour remarquer qu’un théorème, moins général que ceux qui peu- 
vent ètre établis par la méthode dont il s’agit, a été deduit par M. Davidouglou dans son travail, 
inséré dans les Annales de l'École Normale en 1900, par un procédé tout è fait identique è celui 
que j'ai indiqué, quatre ans avant la publication du Mémoire de M. Davidouglou, dans un Article: 
Sur le problème de refroidissement ete., publié en 1896 dans les Communications de la Société 
Mathématique de Kharkow (en russe) et, puis, en 1898 dans ma Note, portant le méme titre, insérée 
aux Comptes Rendus (le 17 janvier 1398). 
