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gruppo. Il gruppo appartenente a (F,,..,F,) se g è funzione simmetrica è il 
gruppo simmetrico costituito delle x! permutazioni di F,,..., F,; ® cioè la defini- 
zione stessa di funzione simmetrica. 
Può facilmente verificarsi che ogni funzione razionale, intera, simmetrica, delle x 
funzioni F,,...,F, coi coefficienti funzioni date dalle due variabili x, , x: può seri- 
versi come funzione razionale intera delle funzioni simmetriche 
Sì =F,+-+F, 
So = FF + F,F3 + e + FF, + F.F3 + Se + RA 
Sa ad F,FoF, + a + F,-oFn_aFn 
Sn 3 F,F, DOG F, ’ 
della quale i coefficienti sono funzioni razionali intere dei coefficienti di g. 
7. Se le forme diverse che assume la funzione razionale (F,,... F,) per le 7! 
permutazioni degli F; sono in numero y, y è l'indice del sottogruppo del gruppo 
simmetrico, che appartiene a g. Inoltre sì ha la proposizione reciproca. Ne segue 
che g è radice di un'equazione di grado y della quale i coefficienti sono funzioni 
razionali simmetriche delle F, ,..., FL. 
Se @(F,,..., F,), funzione razionale delle F,,..., F, resta inalterata per tutte 
le permutazioni che appartengono a un'altra funzione razionale w(F,,..., F.) può 
scriversi immediatamente 
g(® E) = B(W]S 38) 
funzione razionale intera nella w della quale i coefficienti sono funzioni razionali di 
SASSONE 
Ne segue che se il gruppo H, appartenente a w, è sottogruppo di indice y 
del G, appartenente a g, si ha che w è radice di un'equazione del grado y della 
quale i coefficienti sono funzioni razionali di g e di S,,..., Sn. Quest'ultimo è il 
teorema fondamentale della teoria di Lagrange. 
8. Laonde noi abbiamo gli stessi metodi di soluzione per mezzo delle equazioni 
risolventi. Se abbiamo una serie di funzioni w,,..,%W, appartenenti ai sottogruppi 
successivi, cui appartiene l’ultima al gruppo 1, possiamo scrivere 
Gr p"(P|S:,...,S,)=0 
| 
i Yi i (WS, PICCINO Sn) =0 
Ya 
Hy Wo pia (Wo|Wi AS irc Sn) = (1) 
| Yp tolta 
L=5H5 F; Pri Po, S1 0 Se) = 0. 
