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E se possiamo risolvere le equazioni 
RE_@ k=2,83, 
possiamo risolvere le equazioni generali dei gradi 1,2,3,4; facendo usò, come 
risolventi, dell'equazioni particolari binomie. 
SU 
Teoremi speciali sulle funzioni permutabili. 
9. L'utilità dei metodi di Lagrange consiste nel risolvere le equazioni generali 
nei casi in cui la soluzione non può determinarsi o verificarsi con operazioni razio- 
nali. E non ne diminuisce l'utilità anche quando si applichino ai sistemi di algebra 
che non sono isomorfi coi sistemi ordinarî. Un sistema di tal natura può fondarsi 
sulle funzioni permutabili del prof. Volterra. 
10. Prima di fare questa applicazione fa d'uopo stabilire qualche teorema spe- 
ciale. Consideriamo dapprima l'equazione 
) (R,90E,) d=F0,9). 
Vedremo che in generale, data la funzione F{x ,y), non potrà trovarsi nessuna fun- 
zione P(x ,y) che soddisfi l'equazione (1). 
Si denoterà colla lettera S il campo di variabili a =ax =d, ay, e 
colla lettera s l'intervallo a = = d. Data la F(2,7) continua dappertutto in $, 
si vede subito che non può trovarsi @(x ,y) continua in S (). 
Facciamo l'ipotesi più generale che la funzione F(x,y) (non necessariamente 
limitata) sia continua in S dappertutto fuorchè lungo certe linee continue le quali non 
tagliano la retta < = se non in un numero finito di punti, e che esista almeno 
un punto c=y= c della linea <= y nell'intorno del quale si ha 
F(x,y9) +0 
eccettuati tutto al più i punti della linea 4 = y. 
Allora non può trovarsi nessuna funzione ®(x ,y) che soddisfi l'equazione e sia 
continua in S dappertutto fuorchè lungo certe linee continue le quali non tagliano 
la retta x = y se non in un numero finito di punti. Supponiamo infatti, che sia 
trovata una tale funzione D(x, y). 
Noi possiamo ora costruire un campo nell'intorno della linea «= y in modo 
tale che una parte dell'intorno di ogni punto della linea sia inclusa nel campo, e 
da ogni punto dell’intorno del campo come vertice si possa costruire la metà di un 
quadrato che giunga alla linea x =y senza essere o toccato o traversato da nessuna 
(1) In questo articolo una funzione non si chiama continua in un punto (a ,d) se non sia 
finita in questo punto. 
