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la quale, fisso il valore di 4, può considerarsi come un'equazione che determina 
F'(2,)/9(y) come funzione della sola y, continua fuorchè un numero finito di valori 
di y. Ma dalle ipotesi fatte, sulla funzione @(x,y) è facile di stabilire che una 
tale soluzione dovrà essere una funzione cortinua di y, y mantenendosi nell’ inter- 
vallo a<y< 8 (?). Ma siccome non c'è che una sola soluzione continua, si ha 
per ogni x, 4 =ax Z=bò, 
F'(x,9) l 
do) _ 0, DZ 
9(4) 
il che è in contraddizione coll’ipotesi fatta sulla F(x, g). 
In modo simile può verificarsi che in generale l'equazione 
6%, 
(1) f['0@,) LE,y) dé =F@.y) 
non ha soluzione. 
11. Consideriamo ora l'equazione 
(2) fre 3) DE, y) di=1. 
Vedremo che in generale data la funzione F(&,y) anche questa equazione non avrà 
soluzione. Però esistono, come è ben noto, dei casì in cui l'equazione è soddisfatta. 
Per esempio si ha 
e e (AA 
Facciamo l'ipotesi che la funzione F(x ,y) non necessariamente finita, sia con- 
tinua in S, fuorchè lungo certe linee le quali non tagliano la linea 4 ==y se non 
in un numero finito di punti, e cerchiamo una funzione @(x,y) la quale sia della 
stessa natura. Può costruirsi ancora il campo tratteggiato come nel caso dell’equa- 
quazione (1), e si vede che deve essere 
| F@,8) 08,9) dE=0 
quando si ha € =y. E quindi viene una contraddizione colla (2). Sotto le stesse 
condizioni data la ®(x,y), non può trovarsi la F(x,7). 
Se si limita la natura di una delle F(x,y), D(7,9), può estendersi la gene- 
ralità dell'altra. Supponiamo per esempio che F(x,g) sia funzione analitica nel 
campo S, e non identicamente zero; e cerchiamo una funzione ®(x ,y) che può 
seriversi nella forma 
D(x,y)= (4) D(2,7y), 
(*) Bulletin of the American Mathematical Society, 224 ser., vol. XVI, n. 3, pag. 135. 
y pag 
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