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tale che resti soddisfatta o l'equazione 
DRY 
(3) | P@,5) 0,9) dé= dr, 9) 
o l'equazione 
(8) flow. E Me=v), 
data (x,y) funzione continua dappertutto in S e tale che W(c, e) + 0. 
S 4 
Applicazione al sistema delle funzioni permutabili di Volterra. 
13. Il prodotto di due funzioni nel senso particolare del prof. Volterra si defi- 
nisce nel modo seguente: 
P.(2,9) OP:(2,9)= f Fl ,8) FE+9) d& (1) 
Si dice che due funzioni E, ,F; sono permutabili, quando si ha 
F,OF.= F0F,. 
Il prodotto così definito non soddisfa del tutto il sopradetto sistema di postulati. 
Mancano l’ M; e l' N.; mentre sono soddisfatti gli A1,2,3,4; M1,2,4; NI, 
e, nel caso della permutabilità, l' M5. 
Infatti, noi possiamo dare due funzioni F,(x,y), F:(2,y) tali che sia 
F;(2,7) OF:(2,y) = 0 senza che si abbia nè F,(2,9)=0 nè F.(x,y)=0. Per 
esempio si ponga 
\Fi(2,y)=0, AZPIZIZID, 
( F;(2,y) arbitraria, continua, a =c="9) 
( F:(2,y) arbitraria, continna, a=x=y=b, 
(F.(c,g)=0, a=y<axZ=b; 
quindi si ha 
fREOrE,) de=0= fre, E) F(E,9) dé 
qualunque sia il punto x,y in S. E perciò non è soddisfatto l’ M3. 
Neppure vien soddisfatto l’ N2. Una funzione non può scriversi in generale pro- 
dotto di una data e di un'altra cercata (si veda il $ 3, equazioni (83) e (3')). In 
(') V. Volterra, Rend, della R. Acc. dei Lincei, XIX, serie 5%, 1° sem., fasc. 4 febbraio 1910. 
