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16. Queste funzioni soddisfanno tutti i postulati eccetto l' M2 e l' M5. Perchè 
esse soddisfino l' M2 basta limitarle alle funzioni della forma 
p(x 4) = + F(2,4) 
dove essendo F(x,x)=0, / deve essere costante; cioè g(c,x) deve essere costante. 
Perchè soddisfino anche l'M5, e quindi tutti i postulati A,M,N, basta inoltre 
limitarle alle funzioni nelle quali le E(x,y) stano permutabili fra loro. Le due 
proprietà associativa e commutativa seguono dalle stesse proprietà nel caso delle 
funzioni permutabili ('). E può facilmente stabilirsi che nessuna operazione ci dà 
una funzione fuori del sistema. 
17. In questo ultimo caso una funzione che non è di nullità ha funzione reci- 
proca che può scriversiì 
di i Mie 
NE go on] 
=f + F'(7,9), 
ove la F' è permutabile colla F e con ogni funzione permutabile colla F. Se si 
cerca 0 tale che 
gOoOo=v, 
dove g(x,y) e w(x,y) sono del sistema e g(#,y) non è di nullità, segue 
0=pOp=VOyp7, 
una funzione perciò che esiste nel sistema (quindi si stabilisce l’ N2) e soddisfa 
anche l'equazione 
Può stabilirsi in fine che ogni equazione 
px ,y) =, 9), 
dove (x,y) non è funzione di nullità, ha 7 radici e n radici solo; e esse possono 
scriversi nella forma 
Pi( ’ Y) ’ wp(d 9 Y) , 0*yp,(£ , y) DICO) wp (x 39), 
dove sono 1,@©,%°,..., 0% le x radici di 1. L'esistenza della g;(x,y) si stabi- 
lisce collo scrivere l'equazione nella forma 
(9 +F@,M)V= (+ 0.9) 
e dall’applicare i teoremi dei $S 3, 4 del già citato lavoro del prof. Volterra (?). 
(1) V. Volterra, loc. cit., febbraio 1910, pag. 171. 
(3) V. Volterra, loc. cit., febbraio 1910, $ 3, 4. 
