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Per 
vg = — 5,9458, 
la curva ha un punto doppio: i due rami dei casi precedenti si riuniscono nel punto 
(— 0,70370 , + 0,77525). 
Per I 
0>r > — 5,9458, 
la curva consta ancora di due rami; però, uno riunisce i due punti M; ed O, ta- 
gliando le p3==— 1,5811388 e ps =0 anche nei punti 0,11396v; e 0,15; il 
minimo valore di p, è dato dall’intersezione colla curva dei massimi e minimi. 
L'altro ramo esce da M,, va prima avvicinandosi con una inflessione all'asse delle p», 
fino all'intersezione colla curva dei massimi e minimi di p3, poi taglia la p$=+ 
+ 1,5811388 in 0,21937»; e con un altro flesso si rende asintotico alla p3 = 5 
senza tagliarla in alcun punto al finito. 
Infine per 
V5 > 0 
il ramo che riunisce i punti M3 ed O non taglia le p3 = — 1,5811388 e p3=0, 
e perciò non ha flessi. L'altro ramo esce da M,, va allontanandosi da » fino all’ in- 
tersezione colla curva dei massimi e minimi di pz che incontra dopo avere tagliato 
la p=5, poi, senza più tagliare questa retta, ne diviene asintotico. 
S 7. — CosTRUZIONE ED USO DEI GRAFICI. 
Noi abbiamo studiato le curve delle due famiglie per potere trovare graficamente 
dei valori approssimati delle radici del sistema (V) che si possano poi approssimare 
maggiormente col metodo esposto al $ 5. È perciò necessario di tracciare sopra 
carta millimetrata un certo numero di curve delle due famiglie in modo da potere 
determinare in ogni caso particolare le curve dell’ una famiglia e dell'altra corrispon- 
denti agli speciali valori dei parametri », e vs. Le coordinate p», ps dei punti d'in- 
tersezione ci danno i valori approssimati delle radici che noi cerchiamo. 
Per tracciare le curve della famiglia », noi possiamo seguire il metodo esposto 
nel S 6 e servirci della (@)' di quel paragrafo; ma non altrettanto facile è la deter- 
minazione analitica dei punti delle curve v;. Infatti la equazione (8) di quelle curve 
è di terzo grado tanto rispetto a ps che a p3, onde dando dei valori arbitrari all'una 
o l'altra di queste variabili dovremmo per determinare l'altra risolvere una equa- 
zione di terzo grado: procedimento alquanto lungo. 
Più semplice a me sembra quello che segue: 
Se noi consideriamo p» , 73,7; come tre coordinate cartesiane ortogonali, l’'equa- 
zione 
5ps — 2p3 — 20p> + 4pa po +- 3pivs = 0 
ci rappresenta una superficie S della quale le curve della famiglia vs sono le sezioni 
coi piani v; = costante. 
