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fondamentale D, e Ds di F, e di F; è singolare per la congruenza ®, perchè da esso 
esce una infinità di raggi principali. Questi raggi generano un cono razionale del- 
l'ordine #,,5 0 2,1, che è quello che da D, o da D; proietta la curva Di, 0 Di,1 
che sulla superficie F. o F, corrisponde a quel punto. Dunque: 
III. I punti fondamentali D, o D, sono punti singolari per la con- 
gruenza 2. 
3. Si consideri un fascio (R) di piani che abbia per asse una retta arbitraria R. 
Ogni piano di questo fascio taglia la superficie F, secondo una curva Q,, alla quale 
si può far corrispondere la curva S, che sulla stessa superficie F, corrisponde alla 
sezione Q. fatta da quel piano nell'altra superficie F.. Variando il piano nel fascio 
dato, si ottengono sopra F, due fasci proiettivi di curve, uno (Q,) formato da curve 
Q, e l'altro (S1) formato da curve S,, e gli s punti comuni a due curve corrispon- 
denti generano una curva G,, la quale è il luogo dei punti di F,, tracce dei raggi 
principali che si appoggiano alla retta R. Questa curva è dell'ordine x, -+s, ha in 
ogni punto D, un punto multiplo secondo u,» e si appoggia in 7, punti alla retta 
R, come è facile dimostrare. Inoltre il cono che la proietta da un punto qualunque 0 
di R possiede 
1 
la => 9 Zu, (me -1)+(-1L)(m-1)=-p 
generatrici doppie. Infatti, si ha una generatrice doppia, quando due degli s punti 
comuni a due curve corrispondenti Q, ed S, nei fasci (Q,) e (S.) sono allineati con 
O, cioè quando il piano della prima curva contiene una generatrice doppia del cono 
che da O proietta la seconda. Ora ogni piano @ del fascio (R) determina una curva 
Q, dei fascio (Q,), alla quale corrisponde nel fascio (S,) una curva S,, che viene 
proiettata da O da un cono dotato (n. 1) di Ta a 1) generatrici 
doppie, le quali danno altrettanti piani 8 dello stesso fascio (R), che possono consi- 
derarsi come corrispondenti a quel piano @. Ogni piano #8 dà una curva Q, sulla 
quale ciascuna delle curve del fascio (S,) determina un gruppo di s punti e le rette 
che uniscono due punti di un medesimo gruppo formano un inviluppo della classe 
(S—-1)@m—-1)—p;; quindi nel fascio (S,) esistono (s — 1) (2. — 1) — pi curve $, 
tali, che ciascuna di esse viene proiettata da O da un cono di cui una delle gene- 
ratrici doppie giace sul piano #; ad ogni piano $ corrispondono dunque (s— 1) 
(22 —-1)—p, piani @. Se un piano « coincide con uno dei piani corrispondenti f, 
sopra di esso giace una delle generatrici doppie del cono che da O proietta la curva 
S, che corrisponde alla curva Q, posta su quel piano. Dunque il cono proiettante 
da O la curva G, possiede tante generatrici doppie, quante sono le coincidenze della 
corrispondenza ora stabilita fra i piani @ e $ del fascio (R), e con ciò resta dimo- 
strato quanto si voleva. Si noti infine che la curva G, non è dotata, in generale, di 
punti cuspidali. Quindi il suo genere P è dato dalla formola 
2P_-2=(mn+s)(Mm+s—-3)— 1 (Mm —-1)— Zu, (0,01) 
ahi isa (o: —D+6-D@=-D-n |. 
