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dalla quale tenendo presente la (2) si ricava: 
(8) P=p,+p+s—1. 
Dunque: 
I. Il luogo dei punti della superficie F,, tracce deiraggi principali 
che s'appoggiano ad una retta data è una curva G, dell'ordine 
n+s, dotata in ogni punto D, di un punto multiplo secondo 
Mi, e del genere pi +-p.+s—1. 
In modo analogo sì trova: 
II. Il luogo dei punti della superficie F,, tracce deiraggi principali 
che s appoggiano ad una retta data è una curva G, dell'ordine 
n -4- s, dotata in ogni punto D, di un punto multiplosecondo wu, 
e del genere pp+-p,+s— 1. 
Da questi due risultati segue che le curve G, e G, sono dello stesso genere, e 
ciò doveva trovarsi perchè i punti di quelle due fra esse che sono date da una me- 
desima retta dello spazio si corrispondono uno ad uno. Inoltre essendo queste due 
curve degli ordini 2, + s e 2>-+s rispettivamente, la superficie generata dalle rette 
che uniscono i loro punti corrispondenti è del grado 
ntb+n428=N+s, 
e quindi, in accordo con una nota proprietà di una congruenza qualunque, si ha: 
III La superficie generata dai raggi della congruenza ® che si ap- 
poggiano ad una trasversale arbitraria è del grado N+-s. 
Ogni retta dello spazio dà una retta G, di F, e le curve G, che passano per 
un punto dato in F, corrispondono alle rette che si appoggiano al raggio principale 
uscente da quel punto. Quindi per quattro punti presi ad arbitrio sopra F, passano 
tante curve G, quante sono le rette che si appoggiano ai quattro raggi uscenti da 
quei quattro punti, cioè due. Dunque: 
IV. Le curve G, formano sopra la superficie F, un sistema quadru- 
plamente infinito d’indice due. 
Due curve qualsivogliano G, hanno, fuori dei punti fondamentali D, , tanti altri 
punti in comune quanti sono i raggi della congruenza @ che si appoggiano alle due 
rette dello spazio, cui quelle due curve G, corrispondono. Quindi (IIl) si ha: 
V. Due curve qualsivogliano G, hanno, fuori dei punti fondamen- 
tali D,, altri N-+s punti comuni. 
Alle rette di un fascio qualunque corrispondono le curve G, di una serie sem- 
plicemente infinita; e siccome al raggio principale uscente da un punto dato sopra Fi 
