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6. Se nelle considerazioni precedenti si sostituisce alla superficie F, la super- 
ficie F., si ottiene: 
A'=4(P_—1)+N+s+H, 
Anto Siig(2-5) Sagihirg, 
dove H, e K, hanno rispetto ad F, gli stessi significati che H, e K, hanno ri- 
spetto ad F,. 
Ora dal confronto di queste due formole con le precedenti (11) e (12) segue: 
H,=H, 
Tia 1G 
e di qui 
K,+2H=K,+2H;. 
E ponendo nella prima e nella terza in luogo di H, e H,, K, e K, i loro valori 
si hanno le equazioni seguenti : 
ni-QMm+ 3 +7 — 20 + 2 + (Mm+m+ 261) 
=n', — 2a, + Ino + ro — 202 + Qio + T (ur + no +26), 
ci — 124, + 24m + 8-4 3r — 1501 + 20, + 6m1 
+ 2 (321 + 38, + 271 + 401) 
== Ca — 124° + 24n» 4 fa + 372 — 1502 + 20, +- 6g: 
4-3 (82,4 354+ 2 + 41), 
che sono appunto le equazioni [IT] e [III] stabilite da Zeuthen nella Memoria ci- 
tata, l’ultima delle quali esprime il noto teorema di Clebsch: Due superficie di 
cui i punti sicorrispondono univocamente sono dello stesso genere. 
7. Sia O un punto qualunque dello spazio. Da ogni punto X, di F, esce un sol 
raggio principale che determina un piano passante per O. Viceversa sopra ogni piano 
condotto per O giacciono (n. 2, I) s raggi della congruenza ®, che sono principali 
per altrettanti punti X, di F,. In tal modo fra i piani della stella O e i punti 
della superficie F, resta stabilita una corrispondenza multipla (1, s), la quale al 
pari di quella considerata nel n. 4 può applicarsi con vantaggio alla determinazione 
di altre caratteristiche della superficie focale. 
Riguardo a questa corrispondenza, in virtù dei teoremi VIII e I del numero 3, 
si ha: 
I. Alle rette della stella O corrispondono sulla superficie F, le 
curve G, di una rete. 
II. I punti fondamentali della superficie F, sono i punti D, e Bi: 
ognipunto D, è multiplo secondo wu, , edogni punto B, è semplice. 
Inoltre è facile vedere: 
TIT. Nella stella O non si hanno piani fondamentali. 
Una corrispondenza multipla affatto analoga alla precedente può evidentemente 
