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Sulle radici delle equazioni algebriche. 
Memoria del Corrispondente G. B. FAVERO 
letta nella seduta del 16 marzo 1890. 
1. Al calcolo esposto nel presente studio servirono di guida le seguenti con- 
siderazioni. 
Le radici d'un'equazione algebrica sono funzioni F dei suoi coefficienti e del 
grado dell'equazione. Le funzioni F appartengono alle algebriche, ma la natura loro 
speciale è in generale diversa per equazioni di diverso grado. Si può ricercare per 
un dato grado se la natura speciale delle funzioni F sia eguale a quella d'altre fun- 
zioni già note nell'analisi, e se le F siano esprimibili in termini finiti mediante 
funzioni note, o per quali legami vi si colleghino. Quando invece la questione si tratta 
in generale, cioè per un'equazione di grado 7, si può cercare di definire direttamente 
le F mediante serie infinite; e ciò tanto più che le F in generale possono non essere 
esprimibili in termini finiti mediante alcuna delle funzioni attualmente note nell’a- 
nalisi. Affinchè tali serie infinite possano servire di definizione, bisogna che esse (con- 
tinuate se occorre nel piano delle quantità complesse) diano il valore delle F con quel 
grado di approssimazione, che si desidera, e ciò qualunque sia il valore dei coefficienti 
dell'equazione. I termini successivi di tali serie devono inoltre potersi formare con 
legge nota. 
I coefficienti d'un'equazione sono funzioni simmetriche delle radici, cioè una ra- 
dice concorre nello stesso modo di un'altra per formare i coefficienti dell'equazione 
di un dato grado. Ne viene che un coefficiente deve concorrere nello stesso modo per 
formare le diverse radici, cioè in ciascuna delle F esprimenti le diverse radici un 
dato coefficiente deve figurare nello stesso modo. Dal punto di vista dei coefficienti 
non può dunque aversi che una medesima funzione F per esprimere una qualunque delle 
radici. Questa F deve essere suscettibile di 2 valori, e l'elemento che la rende alta 
ad avere % valori, dev'essere estraneo ai coefficienti: è ovvio il supporre che questo 
elemento sia la radice 7%* dell'unità. In tale supposizione, detta 4 l'incognita, 4, 41, ... 
i coefficienti dell'equazione, 7 la radice #"® dell'unità, deve aversi per ogni radice 
cid) 
ela F dev'esser tale che attribuendo determinati valori alle 4, 41 , ..., € successivamente 
ad 7 le radici 7"° dell'unità, si abbiano 7, e solamente x, valori di . 
‘Ora a questa forma della F si presta lo sviluppo in serie infinita delle radici della 
proposta, ordinato secondo le potenze decrescenti della radice 7! dell'ultimo termine. 
