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Per v=0 si ha nRo= 4, + +... +4; ma di +++ n= Un, 
Ro =, dunque 
nSo + Un-r (0) 
la quale deve sussistere anche quando «4 sia variabile, mentre 4,-, si mantiene 
costante. Dunque dev'essere, qualunque sia 4, 
n (co | Cn (44 + Can dè = to) + Une1 = 0 
il che esige che sia reo 4- dn1=0, (n= con=..=0: dunque sono nulli tutti 
i coefficienti e, il cui indice è multiplo del grado dell'equazione. Essendo ora 
nRo + @n-,="0, le radici dell'equazione di grado 7 sono espresse in generale da 
Un=1 
3) Di e IR Ret Ia 
dove 
4) Ri— 081, Ro—=0? 82... Bar = Si 1 
5) Si A Cnr AA Cn A+... 
Si noti che quando uno dei due sistemi 1) e 2) sussiste, sussisterà necessariamente 
anche l’altro, qualunque siano d'altronde le quantità 4 ed R. Se dunque si prendono 
ad arbitrio le #4 e si determinano le R mediante il sistema 2), resterà soddisfatto 
anche il sistema 1). Ne viene che sì può dimostrare a priori, che le radici d’un’equa- 
zione di grado 7 possono presentarsi sotto la forma 3). Infatti se esistono x radici 
Cr,C2, 1, Cn, esisteranno anche 7 funzioni R determinate dalle 2), e queste R 
saranno atte ad esprimere le radici nella forma 3). 
Se in una qualunque delle equazioni del sistema 2), eccettuata quella per cui 
v=0, si permutano fra loro in tutti i modi possibili le 4, e si indicano con 
Pi, Pz, Pm i valori che in tal modo assume il secondo membro, si può formare 
l'equazione i 
6) (:R—p.)(nR— pr)... (R— pn) =0. 
Essa è del grado %/ in R: ha le sole potenze della R multiple di 2, ed i suoi 
coefficienti sono funzioni intere simmetriche delle x. Le R sono dunque le radici di 
equazioni di grado n/, i cui coefficienti sono funzioni razionali intere dei coefficienti 
della data. Se 7 è numero primo, qualunque equazione del sistema 2) conduce alla 
medesima equazione di grado 7/. Tutte le R sono allora radici d'una stessa equazione. 
Ognuna delle R ha 7/ valori, la sola R, ha un solo valore. Scegliendo opportu- 
namente fra questi valori, uno per ogni R, ed aggruppandoli ad 7 ad 7, si possono 
formare 7/ sistemi di valori R, che sostituiti nelle 1) riproducono 7/ volte le medesime 
radici 4, permutate in tutti i modi possibili. Dunque nella 3) si ha la F cercata. 
Considerando la 4 come variabile indipendente complessa, si vede dalla 6), che 
le R sono funzioni algebriche di 4, e tali pure sono dunque le S. Fra una funzione S 
e la rispettiva R avendo luogo le relazioni 4), ne viene che una S avrà i medesimi 
punti singolari della rispettiva R. E siccome la 4 è una funzione lineare di tutte 
le R, così la #, considerata come funzione di 4, avrà tutti i punti singolari delle R 
e quindi delle S: perciò nessuna delle S può avere più punti singolari della x. Ma 
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