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Il continuo rettilineo e l'assioma V d' Archimede ('). 
Memoria del Corrispondente GIUSEPPE VERONESE 
letta nella seduta del 21 dicembre 1890. 
Nei miei studi sui fondamenti della geometria a quante si vogliano dimensioni, 
che saranno presto pubblicati, ho dovuto occuparmi anche del continuo (*). È noto che 
il sig. O. Stolz ha rilevato l'importanza dell'assioma V della celebre opera di Archi- 
mede « De sphaera et cylindro » (*). Dati due segmenti rettilinei A e B, A<B, 
secondo questo assioma o meglio per l’uso che ne fece Archimede, vi è sempre un 
numero intero finito n tale che A.n > B. Il sig. Stolz ha creduto che dal principio 
del continuo si potesse dedurre questa proprietà (‘); ma specialmente dopo la consi- 
zione di nuovi infiniti e infinitesimi attuali che pur soddisfano ai miei principî I-V 
sul continuo mi sono persuaso che non si può dedurre l'assioma suddetto dal principio 
della continuità se in qualche modo non è contenuto in questo principio stesso. La 
definizione del continuo del sig. Stolz (?) suppone implicitamente l'assioma d'Archi- 
mede, e la sua dimostrazione di questa proprietà è quindi inutile (5). 
Lo scopo della presente Nota è dunque di far risaltare il posto che occupa 
l'assioma d'Archimede tra i principî del continuo rettilineo, e di dedurre alcune pro- 
prietà importanti che sono assunte comunemente come assiomi, senza ammetterne di 
nuove. Aggiungo però subito che la via qui seguita non è quella per la quale io giungo 
nei miei studî sopra citati a questi principî, specialmente ai due primi, poichè secondo 
me la matematica pura non è nei suoi fondamenti una combinazione arbitraria di segni 
ma è una scienza di concetti che scaturiscono direttamente dagli assiomi logici, da 
(1) Per continuo rettilineo intendo quel continuo astratto le cui proprietà fondamentali sono 
date da quelle della retta, indipendentemente dalla sua determinazione per mezzo di una coppia di 
punti. Questa nota è l’estratto di uno scritto inviato nel giugno u. s. al prof. O. Stolz. Egli mi ha 
poi gentilmente comunicati alcuni teoremi i quali chiariscono e completano le sue ricerche in pro- 
posito, e che come egli mi scrisse saranno pubblicati nei Math. Annalen. 
(*) A questi studî ho accennato anche nella mia Memoria: Sulla superficie omaloide normale 
a due dimensioni del 4° ordine nello spazio a cinque dimensioni, ecc. (Atti di questa Accad. 1884). 
(3) Math. Annalen, vol. 22. Zur Geometrie der Alten insbesondere tiber cin Aciom des 
Archimedes. 
(4) Math. Annalen. 1. c., vol. 31 pag. 608 e Vorlesungen i. Allg. Arith. Vol. 1. pag. 69-83. 
(5) Vorl. . AUlg. Arith. pag. 82-83. 
(6) Così è più manifestamente della dimostrazione del sig. Killing (Veber die Nicht-Bucl. 
Raumformen, pag. 46-47. Leipzig, 1885). Vedi le note (1) pag. 12 e 13, 
