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a) In A+ B+C sz possono sostituire A, B, C con grandezze uguali 
rispettivamente A', B', C' (II, IL e Ip). 
b) Se A+B=0 sc ha Ae BLOC. 
Difatti se fosse ad es: A>QC sarebbe anche A>A+B (I, Ir), il che è 
assurdo (II3, Ire T,). 
ce) Se B> Gs Ra AH BDPEAHKO0. 
Difatti B= C+-X(IT,) dunque A+#-(C#+X)=:A+-B(IK;), oppure =(A+0)+-X(II), 
quindi (A+) +X>A+€(II;), e per conseguenza A-+B>A+ 0 (13). 
c) Se A+ BD>A+#+0 sé ha B>0. 
Se fosse B= © sarebbe A+ B = A4#-C (II; e e Iv), ciò che è assurdo (I). 
d) Se B>C0èéB+A>C+A. 
Si ha B+A= C+ (X+- A)(IL,IKkeII,), e ponendo X+A=D (II, 
siha: B4+A= C+ D(II). Ma D>A (0, Iv), dunque C4+D>C+A (c); ossia 
C+(X+A)>C+A (Il, I), (C4+XY+A3>C+ A (II; , I3) 0 ancora 
B4A>C+A (IG e I3). 
d') Se B+P_A>C+A è B>0. 
Dim. analoga a quella di c'). 
Der. III. La somma di A ad A considerata 7% volte è ciò che si chiama wm%- 
tiplo di A secondo il numero 7; e si indica con A.2, 0 An; A è summultiplo di A.n 
B Il 
secondo il numero 7; e si scrive An=B, A===B.-=- 
n 7) 
e) Se ai multiplo di un'altra grandezza di X secondo il numero n', si ha: 
Ù 
Perchè B è multiplo della grandezza data secondo il numero 77° (def. III). 
Oss. I. Noi supponiamo qui conosciute le leggi della somma dei numeri interi 
della classe 123...1..., e la definizione della moltiplicazione, e quando parleremo di 
numeri senz'altro intenderemo numeri di questa classe. Per la proprietà e) non 
occorre aleun postulato poichè non si suppone che ogni grandezza del sistema £ sia 
multipla di un'altra grandezza di X secondo un numero dato qualsiasi ('). 
f) Se A<B vi è un solo oggetto X tale che X+ A =B. 
Difatti se oltre X tale che X + A =B (II;) vi fosse X = X tale che 
XA =B, sarebbe X-AZX+A(d,Iy) e quindi B=B(Ir,I3: e 0,1), 
ciò che è assurdo (1,). 
Inp. II. Se B-=A si pone X=0, e per non fare distinzioni dannose alla 
generalità dei teoremi e delle dimostrazioni si chiama X grandezza nulla 0 zero. 
Questa parola significa soltanto l'assenza di ciascuno degli oggetti primitivi dati. 
f') O+A=A, -O0+A=A, O=A-+A (f; Lì, ind Ie Il). 
f)A4(-A+B)=A—A+B=B. 
Ponendo C=-—A+-B si ha A+-C= B (ind. I), dunque A-+-(—A+-B)=B (II). 
(®) Non è escluso che siano possibili altri numeri non finiti tali che si possa definire il mul- 
tiplo A.7 della grandezza A in modo da soddisfare ai nostri principî. Vedi Prince. V e oss. III, n. 7. 
