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Ma A-A=0 e 0+B=B(I;; f), dunque A—-A+B=B (IL), e perciò 
anche A+(—A+B)=A—T—A4B(L). 
9) Se A<B vi è in X un solo oggetto X tale che A+X = B. 
Se oltre X tale che A+X = B(IL), vi fosse X=X tale che A#4+X'= B, 
sarebbe A+ X" 2 A+#-X(e,Iy), dunque B = B(I;: e a, 1), ciò che è assurdo (I,). 
C) A=-=A+0, A-O=A, O0=—A+4A. 
Perchè, se AL = Bisi ha ‘anchefqui X_0X(g:95r ind Ina 
bose XE XY VENI MA NSENXENSSACIU 
Ponendo Y—X=C, Y—-X°=0' si ha Y==-C+X,Y= C4-X'(II,, ind. I), 
dunque C4#- X = 0" + X' (I). Ma se fosse Y—-X<Y— X' si avrebbe C < 0° 
(1, I3 e 4,1), dunque anche C+ X<C"+ X' (4, Ir, IL e 13), il che è assurdo (I). 
Nello stesso modo si dimostrano le altre tteg rana tenendo conto delle relazioni 
UE io 
i) Se X=X,Y==Y', Y>X si ha —X+Y=—X+Y=—X'+Y c—X'4+Y. 
Rogno —XabWr=G, = XY CA si ha Ve i, EX 
(II,, ind. I), e con ragionamento analogo al precedente si dimostra —X+Y==—XY. 
Nello stesso modo si dimostrano le altre uguaglianze tenendo conto delle rela- 
zioni Il; e I. 
1) Se X<Y<Z st ha Y\-X<Z1—-X 
Perchè se Y—X=A,Z—-X=B, vale a dire Y_— A$4X, Z=Bk-X 
(Ir, II;, ind. I) si ha A+-X<B+#X(Iy, @, 1, I3), oppure A<B(d' e In). 
l') Se Y— Xx<4-X Sd la ZIA: 
Perchè se fosse Y=Z sarebbe anche Y_-X=Z—X(# e 4, i, il che è 
assurdo (I). 
m) Se X<Y<Zsi ha -X+Y<—-X+#+4Z. 
Ponente VISA ZIA ANSE 
(Ir, IT,, ind. I), e quindi X+-A,<X+ Bi (4; 1, Iz3 e Ir), ossia A, < Bi (e e Iv), 
® Pareoò and — Nati = XI (@ 11h) 
m) Se -X+Y<T-X+#+7Z st ha Y<1. 
Perchè se fosse Y=Z sarebbe — X+Y=—X4+-Z(,w, Ir) ciò che è 
assurdo (I,). 
n) Se X<YZZ st ha 1-Y<ZAh-X 
Sia Z-—Y=A,Z-—X=B siha Z= A4 Yo, Z== B=2X (0, DIS e ind 1); dunque 
A+4+Y=B4#-X(I,). Ma Y=Y'4X (Ie II;), dunque (A+Y')+X =B+X=D 
(IT; Il e II) da cui A-+-Y'=B(/), e per conseguenza A<B(0) ed anche 
4-Y<zZ4-X(a,1},53,In. 
n) SeZ-YZA—- X st ha Y>X. 
Se si avesse Y = X si avrebbe pure Z—Y=Z—X (4, x e Iv), ciò che 
è assurdo (I). 
o) Se X<Y<ZZ st ha —Y+Z<=X+1. 
Ponendo — Yi 4Z=A,} - Xp Zi= Bi oppure! WL-A,=Z% XE Bi=Z 
(zip 100, 106,19) Si o NA IR (()o i NEVE (0) Ce 
X-+ (Y”+ A;)=X+ B; (II, II), ovvero Y"+ A, = Bi(f), e per conseguenza 
A1< Bi (0), e perciò anche —Y+Z<—X+-Z(4,1,I53, In). 
