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0) Se — Y+Z<—-X+Z si ha Y>X. 
Se fosse Y = X sarebbe -- Y4+-Z=—X4-Z (è e 0), il che è assurdo (I,). 
pD) Se Y_-X=Y-X' 0 Y-X=Y-X si ha X=:X' 0 Y=Y!. 
Perchè se ad es: nel primo caso fosse X = X' sarebbe anche Y--X=Y—X 
(n e Iv) contro l'ipotesi (I,). 
q) Se —X+Y=-—XYo—X+Y=X+YVY' s: ha X=X' 0 Y=\". 
Perchè se ad es: nel primo caso X = X' si avrebbe — X+Y = —X'+ Y (0) 
contro l'ipotesi (I). 
n PASPB,BISVUIASOÙ 
Difatti A-=B+X, B=C+#-Y(IIL); A=(C+Y)+X= C4+(Y+xX) (II, II); 
ma C+#+(Y+#+X)>C(II3) dunque A>C (Lr e II3). 
TU) INS CINA = BIO N20 AAT=0R (CI): 
vr) Se B>D e Xé una grandezza qualunque di ® sì ha X+B>D, 
B+X>D. 
Difatti B+ X > B (II) dunque B-+-X > D (7). Così è X+B>D (II e 7). 
9) Se 7>X e <Y; W>X e <Y;W>1, si ha —1+-W<-X+Y. 
Difatti —Z4Y<— X+Y (7,0); ma W<Y dunque —Z+W<—Z4#-Y (m), 
e perciò — Z4 W<—-X+ Y (1°). 
t) Se A>Ce B>D st a A+-B>C0+D. 
Si ha A=X+C(II;), dunque A+B=(X+0)+B=X+-(C+-B) (II; e II). 
Ma C#4B>C+D (ec), e quindi anche X+#-(C+B)>C+D(7"), dunque: 
A+4+B>C+D (I). 
1) NS CRBETSC IBC B=@BAEC=10 Aa CA CIONBIZ@BE 
Se fosse nel primo caso © =" sarebbe B+C<B'+#-C'(II;, 4 0 4, Iv) il che 
è assurdo (I,). Così nel secondo caso. 
Der. IV. Se A<B,B<C diremo che B è compresa fra A e C. 
u) Se ASB si ha An=Bmn. 
Se n=2, si ha A+AZA+B (c,ILelr). Ma A+BZ=B+B (4, Il e1y), 
dunque A+A=B+ B (7, 7°). Ammettendo il teorema per #—1 lo si dimostra 
per 2.(c, d, II: e Lr, 7 e 7°); ma vale per #==2 dunque vale in generale (oss. III). 
u') Se Am Bin si ha ASB. 
Se A.n== B.n e fosse A = B sarebbe anche A.n = B.# (v), contro I,, dunque 
A=B. Se è An<B.n e fosse A=B, sarebbe anche A.n = B.n (v) contro I,, 
dunque A<B(I,). Similmente, se A.2 > B.n si ha A> B. 
v) Nel sistema X non vi è aleuna grandezza maggiore delle altre. 
Infatti se X è una grandezza data qualunque e A è un'altra grandezza di X 
si ha X-LAS>X (II). I 
w) Data una grandezza qualunque X, vi sono grandezze Y e % tali che 
X=—Y4+#Z. 
Difatti vi sono sempre in 2 grandezze Z maggiori di X(v), e quindi anche 
grandezze Y tali che X=-—Y-+-Z (II;, ind. I). 
3. Der. I. Se si considerano le grandezze del sistema X come già date e disposte 
in serie in modo che quelle che seguono una grandezza qualunque siano maggiori di 
