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c) Se (XY) è contenuto în (XZ) st ha (XY)+(YZ)=(X2). 
Difatti è — X+Y+(-Y4+Z)=—X+-Z (def. II e def. VI; /”,2 e IK). 
Oss. IV. Come gli intervalli (0A4),(05) ece., corrispondono alle grandezze 
A, B, ecc. (0ss.IT), i secondi estremi (def. III) corrispondono univocamente e nello stesso 
ordine alle stesse grandezze (def. I). Gli intervalli che rappresentano le grandezze com- 
prese fra O e A e fra A e X, essendo X una grandezza qualunque di > maggiore 
di A, sono (04) e (AXY), che hanno l'elemento comune A. Ogni elemento che cor- 
risponde ad una grandezza X del sistema compresa fra due grandezze Y e Z è com- 
preso fra i due elementi che corrispondono a Y e Z, e appartiene all'intervallo (YZ) 
(def. II, IV). 
Der. VII. Gli elementi che non appartengono ad un intervallo in X sono eszerzi 
all'intervallo, gli altri (quelli cioè che appartengono all'intervallo) tranne gli estremi, 
si dicono 2nferni. 
Oss. V. Dalla def. III e dalla def. VI e dalla serie di grandezze di X risultano 
tosto le proprietà degli elementi rispetto al loro ordine nel sistema, le quali esprimono 
in altre parole le proprietà già trovate per le grandezze, specialmente i teor. 7 e 7°. 
In seguito citeremo nelle dimostrazioni queste proprietà anzichè quelle corrispondenti 
agli elementi o agli intervalli (1). 
Der. VITI. Due intervalli (XY), (YZ) qualunque di * con un estremo comune Y 
si chiamano consecutivi nel verso del sistema (def. I), o semplicemente consecutivi 
quando si considera X in un solo verso (vedi def. IX e oss. VI). 
Der. IX. Se consideriamo gli elementi del sistema 2 in un altro ordine in modo 
che quelli che precedono in X° un dato elemento lo seguano nel nuovo ordine, si ottiene 
un altro sistema >" che si chiama opposto a $. 
Oss. VI. Evidentemente x è opposto a 2°. Si può considerare la coppia di due 
sistemi opposti 2 e 2" come un solo sistema; in tal caso il sistema ha due versi 
opposti. Ad es. una retta ha due direzioni, e se la si considera in una sola direzione 
si ha un raggio di essa; la retta è dunque data da due raggi di direzione opposta. 
Ad es. il raggio limitato ad un punto O rappresenta intuitivamente il sistema XY, senza 
però che le proprietà del raggio rettilineo siano necessariamente anche proprietà di X'. 
Oss. VII. Date due grandezze qualunque A e B esiste sempre in ® la grandezza 
A+B=C(II,) da cui —A+C= B(ind I, 2); ciò significa che nel sistema £, 
se A è l'elemento che rappresenta la grandezza A, vi è un intervallo (AC) che rap- 
presenta la grandezza B. Dunque il principio II, pel sistema omogeneo si enuncia 
anche così: 
Il. Nel sistema omogeneo ad una dimensione X, dato un ele- 
mento qualunque A di esso, vi è uno ed un solo intervallo (40) 
uguale ad un intervallo dato qualunque di X nel verso del sistema. 
Oss. VIII. Ma date due grandezze B e A qualunque di * tali che A < B, vi 
è sempre una sola grandezza X tale che X + A = B (/, 2), e siccome — X+#+ B—= A 
(1) Gli assiomi III, IV, V, VII e VII dati dal sig. Pasch pei segmenti rettilinei (Vorl.. ii. 
neuee Geom. 1882) si deducono dalla proprietà I, (1;), e dai teor. » e »°. Il VI è conseguenza del 
teor. v del n. 1. Non bastano però i principî precedenti per dimostrare l’ass. II. La proprietà di questo 
assioma è ammessa dal nostro principio IMI, n. 4. 
MemorIE -— Vol. VI, Ser. 4* 77 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE eCC. 
