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(ind. I, 2) si deduce che nel sistema omogeneo ad una dimensione nell'intervallo (0B) 
vi è un intervallo uguale ad (OA) che ha per secondo estremo B (). 
4. Princ. III. Nel sistema 2 non vi è un intervallo (grandezza) 
minimo se si esclude lo zero. 
a) In ogni intervallo (AB) vi sono elementi del sistema È oltre gli estremi. 
Perchè —A + B non può essere la più piccola fra le grandezze del sistema 
(def. IT, 3; ITT), dunque se è E<—A+B, fra Ae B si ha la grandezza A+ E 
(II3;, Ir, €, f", 2) dunque a) (oss. IV, 3). 
Der. I. La proposizione: Una serie di intervalli (grandezze) ad esempio : 
(0A)<(0B)<(0C0)<(0D)<... che si considerano l'uno dopo l’altro nell'ordine 
che si seguono, è equivalente alla prop.: Un'intervallo (grandezza) variabile i cui 
stati sono successivamente questi intervalli. Così per gli elementi. 
Un intervallo che non è variabile si chiama costante. 
Oss. I. Gli intervalli o grandezze considerati fin qui sono costanti. 
Der. II. La prop.: Una serie d' intervalli tale che ciascuno di essi sia maggiore 
o minore dei precedenti che sì considerano nell'ordine della serie, equivale alla prop.: 
Un intervallo variabile è crescente o decrescente; oppure anche alla prop.: Un inter- 
vallo diventa maggiore o minore degli stati precedenti (def. I). 
Se non vi è nella serie nessun intervallo massimo o minimo si dice che la varia- 
bile è sempre crescente o sempre decrescente. In caso contrario si chiama limilata- 
mente crescente o decrescente. 
Der. III. La prop.: Un intervallo variabile che diventa più piccolo di ogni inter- 
vallo dato del sistema =, il che è possibile (1II), equivale all'altra: Un intervallo 
variabile che diventa indefinitamente piccolo. 
E se l'intervallo variabile diventa più grande di ogni intervallo dato di X, il 
che è pure possibile (v,2), si dice che diventa 2ndefinitamente grande. 
Der. IV. La prop.: L'elemento X si avvicina indefinitamente a B equivale 
all'altra: L'intervallo (BX) (se (0B)>(0X)) oppure (X8) (se (OX) >(05)) 
diventa indefinitamente piccolo (def. III). L'elemento 2 si chiama limite dell’ele- 
mento variabile X; e se A è compreso fra 0 e 2 (def. II, 2), (AB) si chiama 
intervallo /772/te dell'intervallo variabile (Ax) (2). 
b) Se Ye Z sono due elementi di ogni stato d’un intervallo variabile (XX') 
che diventa indefinitamente piccolo, gli elementi Y e Z coincidono. 
(1) Parlando d’intervalli anzichè di grandezze si ha il vantaggio non piccolo di avere alcune 
rappresentazioni intuitive del sistema 2, per es.: il raggio rettilineo; senza pertanto che l’intuizione 
debba entrare come elemento necessario nelle definizioni e nelle dimostrazioni. Ciò è poi necessario 
nei fondamenti della geometria poichè gli assiomi geometrici (che non bisogna confondere colle ipo- 
tesi astratte geometricamente possibili) devono esprimere proprietà semplici e intuitive, e il metodo 
geometrico propriamente detto, se si vuol conservare alla geometria il suo vero carattere, deve sca- 
turire nei fondamenti dal processo costruttivo dell’intuizione spaziale, come farò vedere nel mio libro. 
(2) In questa definizione introduciamo il linguaggio del movimento dei corpi, ma non il prin- 
cipio stesso, il quale, come dimostriamo nelle nostre ricerche sopra citate, non solo non è necessario 
ma è anzi dannoso nello studio dei fondamenti della geometria; mentre d’altra parte è necessario 
per le pratiche applicazioni di essa. Del resto si potrebbe far senza di queste espressioni se non vi 
fosse maggiore comodità di linguaggio. 
