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Y e Z devono essere costanti (def. I) altrimenti vi sarebbe uno stato (Y, 4) di 
(YZ) (def. I), e poichè (XX') deve diventare indefinitamente piccolo, in (Y; 4) 
dovremmo avere degli elementi X e X° contro il dato. 
Se Y e Z non coincidessero (XX) resterebbe maggiore dell'intervallo (YZ) 0 
(ZY) contro la def. III. 
Der. V. Scomporre 0 dividere un intervallo (48) in % intervalli significa deter- 
minare 7 intervalli consecutivi (def. VIII, 3) (A4,), (A 42), ... (A, B) tali che 
(AA) +(A4 do) +... 4 (An-13) = (42). 
c) Si può scomporre un intervallo dato qualsiasi in un numero n qualunque 
di intervalli. 
Difatti se si considera un intervallo (AX,-1) <(A4B), ciò che è possibile (III), 
si ha: (AX-1) + (Kax-15) = (AB) (c, 3). Ripetendo la stessa operazione per (AX,-1), 
e così in tutto 7 volte, si ha (II, e II): 
(AR)+(MI) +. + (Tn 53) = (48). 
d) Essendo dato un intervallo (AB) e un numero n vi sono in X degli inter- 
valli (AX) tali che (AX)n<(AB), e intervalli (AX') tali che (AX')n > (AB). 
Difatti se si ha (AD) +(GI) ++ (Ha: B) = (45) (c), possiamo sup- 
porre che fra gli 7 intervalli in cui fu diviso (458) ve ne sia uno più piccolo, perchè 
se sono tutti disuguali trascurando ogni intervallo maggiore di un altro degli 7 inter- 
valli e ripetendo questa operazione al più per n —1 degli » intervalli, l'intervallo 
rimanente deve essere il più piccolo; oppure perchè se fossero tutti uguali o fossero 
uguali soltanto gli intervalli minori, tra i quali ad es. (AX), basterebbe divi- 
dere (A4X) in due parti (AX:') (XX) (def. V, e c) considerando come primo inter- 
vallo (AX,') e (XX) come secondo intervallo. Se il più piccolo è dunque (4X,) 
pei teor. c) e t) del n.2 (oss. V, 3), quest'ultimo applicato n —1 volte, si ha 
(ATX) a< (AB). 
Analogamente possiamo supporre che fra gli 7 intervalli nei quali è stato scom- 
posto (48) ve ne sia uno più grande. 
Se il più grande degl’ intervalli suddetti è (X,-, 8) si dimostra applicando il 
teor. t) suddetto 7 — 1 volte e poi il teor. d) del n. 1 che (X,-,1 B)nr > (48). 
e) Ogni intervallo dato (AB) di 3 è intervallo limite di due intervalli 
variabili l’uno sempre crescente l'altro sempre decrescente. 
Infatti scegliendo un intervallo (4AX) <(45). il che è possibile (III); si può 
scegliere inoltre un elemento X compreso nell'intervallo (.X, 8) distinto dagli estre- 
mi (4), e così di seguito. L'intervallo (XB) diventa più piccolo di ogni intervallo 
dato e del sistema, perchè se l'intervallo (2'8) in (XB) è uguale a # (oss. VIII, 8), 
in (B'B) possiamo scegliere un altro elemento distinto dagli estremi (4). Similmente 
dicasi se (AX,) > (48), il che è possibile (v, 2). 
f) Se gli elementi X e X' si avvicinano indefinitamente in verso opposto 
aun elemento A, l'intervallo (XX') diventa indefinitamente piccolo. 
Infatti si ba (XX) = (XA)+(AX) (c, 3), perchè A è per dato interno all'inter 
vallo (A X') (def. VI e def. VII, 3). Se questo intervallo restasse maggiore di un 
intervallo dato s, si potrebbero scegliere due intervalli (YA), (AY;') tali che 
(MA) + (AV) = e (e; IT, e oss. VIII, oss. III, 3). Ma in (YA) e (AV) vi sono 
