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per dato degli elementi X e X' (def. ITI e II) ed in tal caso (XX) <«; dunque è 
assurdo che (XX) sia sempre maggiore di « (I,). 
e) Se l'elemento X si avvicina indefinitamente a un elemento X', e X' nel 
medesimo verso a un clemento A, X si avvicina indefinitamente all'elemento A. 
Infatti X' è contenuto nell’ intervallo (XA) (def. IV; def. IV, def. II, 3). Se (XA) 
non diventasse indefinitamente piccolo vi sarebbe un intervallo (A'A) non contenente 
alcun elemento X' (def. III). Ma in (AA) vi è un elemento X' (def. ITI), e per conse- 
guenza non vi sarebbe alcun elemento X nell'intervallo (A°X*), contro l'ipotesi. 
h) Se Xe X' si avvicinano indefi ritamenie nello stesso verso all'elemento A, 
(XX) 0 (XX) diventa indefinitamente piccolo. 
Se (XX') 0 (XX) restasse superiore di un intervallo dato e, (XA) 0 (XA) 
contenendo (XX) o (A'X) resterebbe pure superiore a «, contro il dato (def. IV, 
def. III). 
i) Se due intervalli diventano indefinitamente piccoli, la loro somma diventa 
pure indefinitamente piccola. 
Possiamo ritenere che i due intervalli abbiano un estremo comune, perchè anche 
se non lo avessero potremmo sostituire rispetto alla loro somma l’uno di essì mediante 
un intervallo uguale ad esso con un estremo comune coll'altro, senza alterare la somma 
(oss. ITI, 3). Siano dunque (XY), (YZ) i due intervalli, e sia dato un intervallo e. 
Dividasi s in due intervalli «, e «» (c). Per dato vi deve essere uno stato di (XY Y)Z 8, 
e quando è (X Y)<e, vi deve essere uno stato di (YZ) < «,, perchè anche se per un 
intervallo (XY) < «1(YZ) fosse maggiore di «1, (YZ) deve diventare pur esso minore 
di s, (def. IT e III), e in tal caso si avrà (X Y)+(YZ)<e (61,2). 
Princ. IV. Se l'intervallo (XX) i cui estremi sono sempre varia- 
bili inverso opposto diventa indefinitamente piccolo, esso con- 
tiene sempre un elemento Y di XS distinto da X e X°. (1). 
1) L'intervallo (XX') i cui estremi sono variabili in verso opposto e che 
diventa indefinitamente piccolo, determina un solo elemento Y di 3. 
Difatti se ve ne sono due distinti, ad es: Y e Z, si dimostra come pel teor. b) 
che Y e Z devono essere costanti (def. I); ma allora (XX) resterebbe maggiore del- 
l'intervallo (YZ) o (ZY) contro l'ipotesi (def. III), dunque ve n'è uno solo (prine. IV). 
Der. VI. Questo principio si chiama il principio o l'ipotesi del /i22%e. 
Oss. II. È questo principio che caratterizza la continuità del sistema omogeneo 
ad una dimensione. 
(3) A me pare che questo principio si giustifichi intuitivamente meglio degli altri, anche di 
quello dato dal sig. Dedekind (Stetiekeit und Irr. Zahlen; Braunschweig 1872), del che bisogna tener 
gran conto nei fondamenti della geometria, i cui assiomi devono derivare dall’intuizione spaziale 
senza per questo trascurare tutte le ipotesi astratte possibili che non contraddicono a questi assiomi. 
Secondo me non è la divisione degli elementi di un intervallo (45) in due gruppi (A) e (0) tali 
che si abbia sempre (AN) <(AX7) che ci conduce al postulato del continuo, ma bensi il fatto 
che (XA) diventa indefinitamente piccolo. Nel continuo assoluto (vedi def. VII) vi sono di queste 
divisioni senza che (A) diventi indefinitamente piccolo e quindi senza che vi siano elementi Y che 
le determinano, almeno elementi che godano le stesse proprietà degli altri. Coll’assioma V d’Archi- 
mede si dimostra, come vedremo, il postulato di Dedekind (4,5); come in questo postulato è conte- 
nuto in particolare l’assioma d’Archimede. 
