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Princ. V. Se @ e 8 sono due intervalli del sistema ed è a<# vi 
è sempre un simbolo di molteplicità (numero) 7 determinato tale 
che a.n>f. : 
In altri termini dato « è possibile costruire con « il sistema X stesso, in modo 
che siano soddisfatti i principî precedenti. 
Oss. III. Non è detto però in qual modo si debba eseguire la costruzione ('). 
Der. VII. Il sistema X che soddisfa ai principî suddetti lo chiamiamo sistema 
omogeneo ad una dimensione cor/inuo assoluto. 
Der. VIII. Se il numero ») è sempre della classe naturale 1 2 3...2... il principio V 
si chiama assioma V d' Archimede. In tal caso il sistema X si chiama continuo ordinario. 
Oss. IV. Nei numeri seguenti ci occuperemo soltanto del continuo ordinario. 
Oss. V. Il continuo ordinario 2 corrisponde al continuo intuitivo del raggio 
rettilineo. 
m) Se A<B e B mon è multiplo di A si ha un numero m tale che 
Am<BZA(MH4 1). 
Vi è sempre un numero 2 tale che Ax >B (prince. V, def. VIII e oss. IV). 
Ora in Am< B il numero 72 deve dunque essere almeno uguale a 1 e al più uguale 
a 2— 1. Essendovi dei numeri 7 tali che Am < B, ve ne deve essere uno pel quale 
A(m-+1)>B, almeno quello pel quale 72-+1== 7. 
5. a) Dato l'intervallo variabile (AX) sempre crescente (crescente) e l'inter- 
vallo variabile (AX') decrescente (sempre decrescente) tale che (AX) sia sempre 
minore di ogni stato di (AX'), ed ogni intervallo (AX) minore degli stati di (AX') 
appartenga alla prima variabile (od ogni intervalto (AX') maggiore degli stati 
di (AX) appartenga alla seconda variabile), l'intervallo (XX) diventa indefinita- 
mente piccolo. 
Che siano anzitutto possibili tali variabli risulta immediatamente dal teor. c) e 
dalle def. I e II del n. 3 e dal teor. v) del n. 2. Inoltre si vede che non può essere 
uno stato di (AX) intervallo limite (AZ) della variabile (AX*). Se ciò fosse, siccome 
la variabile (AX) è sempre crescente, nell'intervallo (ZZ,) determinato da due stati 
successivi (AZ) e (AZ) di essa, vi sarebbero elementi X, perchè (ZX') deve diventare 
per ipotesi più piccolo di ogni intervallo dato (ZZ,) (def. IV, 8), e avremmo uno 
stato (AZ,) della variabile (AX) maggiore di uno stato della variabile (AA) contro 
il dato del teorema. 
Ora supponiamo che sia sempre 
(XX1)> (80) (1) 
essendo (82€) un intervallo finito dato; e per meglio fissare le idee supponiamo che 
nell'intervallo (XX) sia contenuto sempre un intervallo dato uguale a (BC) in modo 
(1) Ciò non ha luogo pei numeri transfiniti di G. Cantor perchè per essi non ha sempre luogo 
la seconda delle proprietà II3 e la proprietà II;. (Ad es.: Acta Math. vol. II, pag. 381 e seg. Vedi 
anche Zeits. fir Phil. v. Fichte Vol. 91 fas. 1, 1887, e Stolz: Math. Ann. vol. 31, pag. 608). I nostri 
numeri interi infiniti soddisfano a questa condizione, ma non è nostro scopo di far conoscere qui le 
proprietà di questi numeri che allargano il campo del continuo astratto. Nel nostro libro, che sta 
ora sotto stampa, questi numeri saranno trattati ampiamente per l’applicazione del continuo assoluto 
alla geometria stessa. Vedi nota pag. 5. 
