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che sia (XX) > (82€) (def. VI, 3). Da (1) si ricava che se (A) è uno stato di (AY) 
(def. I, 4) ogni stato della variabile (A) è maggiore di (AX,) +(4X2), che è perciò 
uno stato di (4Y) essendo (XX) = (8C). Siccome la variabile (AX) non sod- 
disfa che alla condizione di essere sempre minore di qualunque stato della varia- 
bile (AX*), ne consegue che considerato uno stato (4%) +(IGX) = (4%) della 
prima variabile, poichè la (1) ha sempre luogo per ipotesi fra due stati qualunque 
di (AX) e (AX°), l'intervallo (AX) +(G X)n = (4%) qualunque sia 7 è pure 
uno stato della variabile (AXY). Ma se (Ax) è uno stato determinato della varia- 
bile (AX'), vi è sempre un numero tale che (XX) n >(GI) (V, oss. IV, 4), 
e perciò se fosse vera la (1) vi sarebbe uno stato di (Ax) maggiore di uno stato 
di (AX°), il che è contrario ai dati del teorema. Dunque la (1) è assurda. 
Un'analoga dimostrazione serve nel caso che (A) sia crescente (e perciò anche 
limitatamente crescente, def. II, 4) e (AX') sia sempre decrescente. 
b) Wn intervallo (AX,) variabile sempre crescente (0 decrescente) contenuto 
in un intervallo (AB) ha sempre uno ed un solo intervallo limite più grande (più 
piccolo) di tutti gli stati della variabile. 
Se (AB) è il primo intervallo nel verso del sistema 2 maggiore di ogni stato 
delia variabile, (45) è intervallo limite di (4), perchè ciò significa che (AB) deve 
diventare indefinitamente piccolo (def. IV e III, 4). Difatti scelto nell'intervallo (45) 
un intervallo (2/8) arbitrariamente piccolo (4, 4; Il def. VI, 3), se in esso non 
cadessero elementi X,, il primo intervallo maggiore di tutti gli stati della varia- 
bile (A4X,) sarebbe almeno (48°) e non (48). 
Se (45) non è intervallo limite di (AX) vi sono in (48) altri intervalli 
(AB), (AB"),... tali che (AB)>(A4B8))>(A4B")>... maggiori di (4X,) qualunque 
sia n. Questi intervalli si possono considerare come stati di un intervallo decrescente 
maggiore degli stati di (4.X,) (def. I e II, 4), e quindi vi deve essere uno ed un solo 
intervallo (A Y) limite delle due serie (4; /, def. IV, 4). In tal caso (AY) appartiene 
alla serie decrescente perchè questa è costituita da tutti i segmenti compresi in (42) 
maggiori di tutti gli stati di (Ax). 
Un analogo ragionamento vale se (AX) è decrescente senza che X si avvicini 
indefinitamente ad 4 nel qual caso l'intervallo limite di (AX) sarebbe nullo (/', 2 
e def. II, 3). 
c) Se l'intervallo (XX) 0 (XX) dato da due intervalli (AX;), (AX3) 
diventa indefinitamente piccolo, l'intervallo dato dai secondi estremi dei multipli 
di (AX3) e (AX') secondo lo stesso numero n diventa pure indefinitamente piccolo. 
E inversamente. 
Sia (AN) > AM, Si ha: 
(1) (Ax) >(AX,)n (0,2; def. II, 3) 
e indicando con X, e X, i secondi estremi di questi multipli si ha: 
(Ax) > (4%) 
in modo dunque che XY, cade nell'intervallo (4.X,) (def. II, 3; 204, Ir, 2 e def. IV, 3). 
Dato un intervallo (AC) qualunque, il suo multiplo secondo un numero dato in SX è 
determinato ed unico (def. II, 3; def. III, e 4, 2). Si vien dunque così a stabi- 
lire una corrispondenza univoca e del medesimo ordine fra gli elementi X e gli 
