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elementi X,, perchè ad ogni elemento X a partire da A corrisponde un solo ele- 
mento xX,, e viceversa ad uno di questi elementi non può corrispondere che un solo 
elemento X,. Se ne corrispondesse un altro .X' si dovrebbe avere (AX1) n= (4%) x, 
da cui (AX°)= (4%) (def. II, 3; , 2), dunque X,'" deve coincidere con X, (def. V, 2). 
La corrispondenza è anche del medesimo ordine perchè se si ha (AX)) <(AXM)<(4X") 
per la (1) si ha pure (AXY) <(AX) <(A4X,"), vale a dire se XY è compreso fra X; 
e Xi", Xn è compreso fra X,' e Xx (def. Il, 3; 22, Ir, 2 e def. IV, 3). Se dunque 
(AX,) è uno stato della variabile (AX) e se (XX3') decresce, decresce pure (XX) 
(5, 3) e quando (X,X') diventa indefinitamente piccolo, (XX) ha un intervallo 
limite (XY), supposto che XY, e perciò anche X,, sia costante (0 e def. I, 4). 
Dimostreremo che Y coincide con X, (def. V, 3). 
Supponiamo dapprima #= 2, e sia (AXY) > (4K). 
Dia: 
(0060) = (09) = (Cao) Lo) = (900) (000) (2) 
siccome (AD) = (AD) (I) (Ar) = (A) (3), (3) 
(AX2) = (A) (L'A), (6,8) 
si ha LA) LR) (4) 
perchè 
(4%) > (19) (GO) (ir) < (3) (def. II, 3; 132, 134) 00,2). 
A X Le 
O 0 dd 000 a 0 0 0 0,0 °_° 009 
Così si stabilisce una corrispondenza univoca e del medesimo ordine fra gli ele- 
menti X" e X,", e quindi anche fra gli elementi x," e xX>' (!). Difatti come ad ogni 
elemento XY," corrisponde un solo elemento _X>” (II), così ad ogni elemento XY" non 
può corrispondere che il solo elemento _X,', perchè vi è un solo intervallo (XX) 
uguale all'intervallo (A4X) e in modo che x," sia secondo estremo (oss. VIII, 3; 
(4), (3) d, 7, 2; II). Se un elemento precede XY," l'elemento corrispondente deve pre- 
cedere x", essendo l'intervallo di due elementi corrispondenti qualunque uguale 
ad (A4X,)(0,3), dunque la corrispondenza è anche del medesimo ordine. Ora se 
(XX) diventa indefinitamente piccolo tale diventa pure (XX), perchè altrimenti 
(XxX3") avrebbe un intervallo limite (X3Z) (0), e quindi scelto un elemento Z fra X, 
e Z (a, 4) e considerando l'intervallo ( WZ)= (XX) (oss. VIII, 3; II3 (3); d, 7, 2) 
l'elemento W non potrebbe essere interno al segmento (XX) (def.VII 2), pei punti del 
quale gli elementi corrispondenti X>" sono esterni al segmento (XY. Z). Dunque l’inter- 
vallo (XY X>) sarebbe parte dell'intervallo (WZ) (def. VI, 3) il che è assurdo 
(5, def. IL, 3; II); dunque Z deve coincidere con X, (def. V, 3). 
Ora si ha: 
(um) (CA) = (CL), (Ce) (0) = CAD) 63) 
e per le (2) si no 
(I) (A) (1, 9,2). 
Se dunque (X,X,') diventa indefinitamente piccolo tale diventa anche (X>X3') 
(1) Vedi 3% nota pag. 8. 
