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fra Xn @ Xn essendo (Xe Ma) = (Xn X) (0,3). E come prima si dimostra 
che XY, ha per elemento limite XY, quando X,_, ha per elemento limite X,-, (def. IV, 4). 
Xne1 Aa 
O 0.000 O a ad 000 0 0 00 
r/ , "I 
X n=l Xn An 
Ora si ha (Ke Xn-1) SF. (Sa i) = (Ios den) b) (X en < o) E (Ap di) 
= (6) 10. (=) lea) 
essendo per ipotesi (AX-2)>(AXn-s)(,2;2,3), 0 (Koei) = 1%); dunque 
(Xn) (KX) (def. II, oss. II, 3; ind. I e #, 2), e perciò (XxX) diventa 
indefinitamente piccolo con (Xn-1Xn-1), e quindi anche (X/ XK) (9,4). 
Dunque se il teorema è vero per 7 — 1 è vero per 7, ma vale per n—-1=2, 
dunque vale per x qualunque. 
Se si suppone finalmente che XY, X' siano tutti e due variabili in verso opposto 
o nello stesso verso di modo che (XY, X1°) (0 (X'X,)) diventa indefinitamente piccolo, 
(XxX) (0 (XY X)) determina un elemento limite Y; (IV, 7,4, 0 2). Ma quando (XX) 
diventa indefinitamente piccolo tale diventano anche (XY) e (YA) ovvero (XY) 
e (Y:X1) nel primo caso; nel secondo (XY) e (XY), oppure (YX) e (GX); e 
inversamente (def. III o #, 3). Dunque per le dimostrazioni precedenti diventano inde- 
finitamente piccoli (Xx Ya) (GI) 0 (/Ha), (TX) nel primo caso, e nel secondo 
(Ki Va) (Gi Ya) oppure (Y Xx) e (YX) quando diventa tale anche (XX) o (XA), 
e perciò anche (XX) 0 (XXX) (è, h, 4). 
La prima parte del teorema è dunque dimostrata. 
Inversamente se (XX) 0 (XX) ha un elemento limite Y,, l'intervallo (Ax) 
ha un l'intervallo limite (AY) (4,2 e 8); e per la prima parte del teorema si deve 
avere (AV) an=(AK)(). 
d) Ogni intervallo (AB) può essere diviso in un solo modo in un nu- 
mero n qualunque di parti uguali. 
Vi sono intervalli (AXY) i cui multipli secondo 7 sono più piccoli di (48) (4, 4). 
Sia dunque: 
(00) (AD I(CAD) (1) 
Ora se in ogni intervallo, dato (8/2) contenuto nell'intervallo (XY, 2) (def. VI,oss.VIII, 3) 
non vi fossero altri elementi XY,, siccome vi sono elementi x, tali che (AX,) > (45) 
(4, 4), (XxX) non diverrebbe indefinitamente piccolo con (Xx X',) contro il teor. 
precedente, essendo XY compreso fra X e 2 (def. III, 4). Dunque la variabile (4.C,) 
ha per limite (48) (def. III, 4), e la variabile (AX) ha per limite l'intervallo (AY) 
(0,2 e 8) tale che (AY)z=(A4B) (ce 0) (2). 
(1) La dimostrazione di questo teorema è lunga ma in compenso è semplice e intuitiva. Questa 
proprietà è fondamentale per quelle che seguono, che sono pure a loro volta proprietà fondamentali 
del continuo. 
(2) La dimostrazione di questo teorema data dal sig. Stolz (1. c.) senza bisogno del teor. c) si 
appoggia sull’assioma della legge commutativa della somma di due intervalli qualunque (vedi nota 
pag. 2) che si può e quindi si deve dimostrare. 
Dopo che avevo già scritto questa nota ricevetti la bella Zeoria dei gruppi geometrici 
nello spazio a tre dimensioni del mio ch. amico De Paolis (Mem. della R. Acc. di Napoli 1890) 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — Memorie -— Vol. VI, Ser. 4% 78 
