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e) Se (AA) è la nî° parte e (AA) la n° parte di un segmento qua- 
lunque (AB) (n° > n) (AA) è più piccola di (AA'), e se © aumenta indefinita 
mente (!) (AA) diventa indefinitamente piccola. 
Se fosse (A4°)= (A44"), essendo per :dato (A4')n = (A4")x/=(A4B)(13), 
sarebbe (A4')x'= (458) (def. II, 3, «, 2 e I.) e perciò anche n= (0, 2, Li; 
oss. V, 3). Se invece fosse (A4')<(A4") sarebbe pure (44) nr <(A44”)x (w, 2, 
oss. V, 8), ma per dato è (A47)x/=(A4')n=(AB), dunque sarebbe (44) 2/<(A4")m 
(I3), mentre d'altra parte deve essere per dato (447) > (44) (4, 2); dunque 
è assurdo che (44°) = (A4")(I,). Quindi quando 7 aumenta (44'’) diminuisce. 
Se è dato un segmento (47) per quanto piccolo, si ha: 
(AF) m<(A4')<(AE)(m+1) (m, 4). 
Dividendo dunque (44) in m-+1 parti uguali (4) si ha (44) era <(4E) 
7 1 (AB) ; SRE3 
def. III,,2). M nto ei b. rato. 
(de u,2). Ma (44) 21) (e, 2), dunque il teor. è dimostrato 
Oss. I. Osserviamo che questo teorema è indipendente dall’ipotesi del limite (IV), 
qualora si ammetta però la divisione di 097 intervallo o grandezza in un numero 
qualsiasi di parti uguali, ipotesi che come si vede è più complessa di quella del 
limite, poichè si ammette la divisibilità per 097 numero 7. 
e) Se si divide un intervallo (AB) qualunque în n (n=2) parti uguali e 
queste ancora în n parti uguali e così via, esse divengono indefinitamente piccole. 
(ALI LLe) SARA (2 (e,2); e col crescere inde- 
finito di 7, 2” diventa più grande di ogni numero intero dato # (088. I, 2), 
dunque ecc: (e). 
Difatti si ottengono le parti 
6. Oss. I. Abbiamo visto che il sistema X primitivo di grandezze può essere con- 
siderato come una serie di elementi con un primo elemento 0, e nella quale un ele- 
mento appare una volta soltanto, come le grandezze corrispondenti (oss. IV, 2). Abbiamo 
anche visto che a cominciare da un elemento dato e qualunque del sistema si può 
immaginare nell'ordine o verso del sistema un intervallo uguale a un intervallo dato 
qualunque (II). Cominciando la serie dall'elemento O non vi è alcun intervallo chè 
nella quale egli suppone però noti i fondamenti della geometria per lo spazio a tre dimen- 
sioni (pag. 7). De Paolis dà del teor. d) una dimostrazione (pag. 15-16) colla quale sembra 
si possa evitare il teor. c) ed anche l’assioma della legge commutativa della somma di due 
segmenti; ma quella dimostrazione non è completa, e, come mi scrisse gentilmente l’autore, 
essa suppone questo assioma. De Paolis nei suoi Elementi di Geometria dà Vassioma d’Archimede 
per i segmenti rettilinei verso la fine (ass. X), e nella suddetta Memoria lo dà nuovamente per la 
retta col postulato di Dedekind (pag. 14) e in generale per un gruppo continuo qualunque di punti 
nella definizione del gruppo ben concatenato (pag. 28) seguendo la definizione del gruppo continuo 
di G. Cantor (ad es. Acta Math., vol. II, 402-406). Questi ammette però come conosciuto il 
continuo numerico ordinario, che soddisfa all’assioma d’Archimede, e definisce come distanza 
di due elementi della varietà numerica (X,,Xa... Xn), ove trovasi il gruppo, la espressione 
VI Ka... (Xn Xn), facendo così dipendere la definizione del gruppo continuo dalle 7 
dimensioni della varietà, sebbene 7 sia un numero intero finito dato qualunque. 
(1) Ciò significa che n diventa più grande di ogni numero intero finito dato (vedi def. III, 4). 
