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abbia per secondo estremo l'elemento O. Per dare più generalità ai nostri teoremi 
che seguono, supporremo che il sistema X non abbia un primo elemento, come non ha 
un ultimo elemento (0,2 e oss. IV, 3); o in altri termini che esista sempre un inter- 
vallo uguale a un intervallo dato qualunque di ®, sempre nel verso di esso (def. I, 3), 
il cui secondo estremo sia l'elemento O. Si deduce facilmente che questa proprietà 
vale per ogni altro elemento del sistema (II) e oss. VIII, 3). 
Oss, 1I. E sempre per dar maggiore generalità ai nostri teoremi terremo anche 
conto delle relazioni di posizione che sono possibili fra gli elementi del sistema, in 
modo che nella semplice unione di una grandezza ad un altra non si possa più sosti- 
tuive una grandezza con un altra ad essa uguale, mentre relativamente ai segni 
>, E, < si può sostituire nella somma (42) +(C2D), o in ogni altra che deriva 
dalla somma, ad (45) o (CD) un intervallo uguale (oss. III, 3). 
Der. I. In questo caso una parte di X (def. II, 3) la chiameremo segmento. 
Oss. III. Rimangono inalterate per i segmenti le relazioni del principio I e del 
principio II tranne la II; che vale in generale soltanto pei segmenti consecutivi 
(def. VIII, 3) (!). 
La retta considerata in una delle sue direzioni (come anche ad es: il cerchio) ci 
dà un'immagine di questo sistema. Solamente bisogna osservare che la retta (ed anche 
il cerchio) ha ancora un'altra proprietà fondamentale che la caratterizza in confronto 
del sistema X, e cioè che da un suo punto A vi sono due segmenti (48), (AC) di 
verso opposto (def. IX, 2) uguali fra loro; proprietà che noi daremo nel principio VI. 
La forma intuitiva del tempo ci dà meglio l’idea del sistema X. 
Oss. IV. Noi vediamo che l'intervallo considerato dapprima e il segmento non 
sono la stessa cosa; imperocchè il segmento (45), se lo supponiamo composto di seg- 
menti consecutivi (441), (A1A42)...(48) (6, 4) dipende dalle relazioni di posizione di 
questi segmenti fra loro (oss. II), mentre l'intervallo considerato precedentemente non 
dipende da queste relazioni, vale a dire l'intervallo ad es: (40) =(A425)+ (28€) non 
muta se al posto di (42) e (BC) sostituiamo altri intervalli qualunque uguali ad 
essi (oss. III, 3). 
Der. II. Quando non si considerano le relazioni di posizione tra le parti di un seg- 
mento, tranne s'intende l'ordine in cui si seguono poichè da questo dipende finora 
almeno anche l'intervallo, l'intervallo che così si ottiene si chiama grandezza inten- 
siva del segmento (?). 
Oss. V. La prima ipotesi (oss. I) ci dà più generalità ma non aggiunge nulla 
per la dimostrazione dei teoremi seguenti rispetto al primitivo sistema X, perchè se 
ne potrebbe far senza. L'altra condizione delle relazioni di posizione fra le parti di 
un segmento (oss. II) aggiunge piuttosto delle difficoltà che delle nuove ipotesi che 
(1) Nel nostro libro partiamo da questo sistema per costruire il continuo, tenendo anche conto 
delle relazioni di posizione come carattere di confronto fra le forme matematiche astratte. 
(2) Se si tratta di un segmento rettilineo si ha la distanza dei suoi estremi considerata sul 
segmento. È un errore confondere la distanza col segmento perchè sono enti diversi, come sarebbe 
un errore se si scambiasse l’area di una figura piana colla figura stessa. Questa distinzione sarà meglio 
e ampiamente discussa nei nostri studî più volte citati. Per lo scopo di questa nota basta questa 
indicazione (vedi oss. IV). 
