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possano servire nascostamente alle dimostrazioni dei suddetti teoremi, le quali, come 
sì vedrà, sono indipendenti da essa. 
Der. III. Per somma di due segmenti (458), (B'C') intenderemo sempre il seg- 
mento (AC)=(A4B)+ (BC) (1) essendo (BC)= (BC). 
Qui, perchè nell'uguaglianza dei gruppi di segmenti abbiamo ancora da conside- 
rare le relazioni di posizione fra i segmenti di uno stesso gruppo addottiamo il 
segno = in luogo del segno =, che riserviamo per le grandezze intensive. 
Oss. VI. E per dare ancora maggiore generalità alle nostre ricerche daremo alla 
parola somma un significato più esteso, supponendo che nel simbolo (AB) +#- (BC) 
che indica la somma di (BC) ad (45) il segmento (BC) possa essere anche di verso 
opposto ad (45), o in altre parole che C' sia compreso in (45), 0 A sia compreso in (CB). 
Da qui si deduce ad es: 
(AB) + (B4)=0 (2) 
ma ciò non significa che sia (A4B)==(BA), perchè la (2) sostituisce l' altra 
(AB) — (AB)=0. 
a) (AB)+-(BC)=(BC)+(A4B) 
nel senso che nel secondo membro dell'uguaglianza da C si considera un segmento 
uguale ad (AB). 
Supponiamo dapprima che (48) e (BC) siano dello stesso verso. 
1) Se (AB) e (BC) sono multipli rispettivamento secondo i numeri m e di 
uno stesso segmento (44°), e si decompongono (48) e (BC) nelle loro 7, rispettiva- 
mente 7, parti uguali ad (A44'), possiamo considerarne dapprima 7 e poi le rima- 
nenti 7 per la legge commutativa della somma dei numeri della classe 123... x... 
senza alterare quindi il risultato (AC) (oss. III, 2). Ma % e m segmenti consecutivi 
uguali ad (44') dànno rispettivamente due segmenti uguali a (BC) e ad (48) (def. IT, 
“,2 e I3); dunque in tal caso il teorema è dimostrato. 
2) Supponiamo che (48) e (AC) non siano nella suddetta condizione : 
Vi CCI B' A IO GI 
Consideriamo nel verso del sistema X i segmenti : 
(1) (B'A)=(A4B), (C'B)=(BC) (oss. I). 
L'elemento 5' è contenuto per costruzione in (C'A)==(C0"B')+ (2'4)(c, 3). Si 
scomponga (458) in x parti uguali (d, 5), e una di esse sia (A4'), che per x abba- 
stanza grande sarà minore di (BC) (e, 5). Vi è un numero m > tale che 
(2) (Ad')mn<(AC)<(A4)(m+1) (m,4). 
L'elemento € sarà compreso dunque nella parte (22 + 1)? (def. IV e def. II, 3), 
che indicheremo con (XY), e X sarà compreso in (BC), essendo per costruzione 
(AX)>(A5). Si consideri ; 
(3) (VA)=(A47) (X'A)=(AX) (oss. I). 
L'elemento X è compreso nel segmento (4Y) e quindi X' nel segmento (YA), 
essendo (4XY)<(AY), e quindi anche (X'A)<(Y'A) (Lr, a, 1, I3). 
Si ha pure pel caso 1) e per la (1) e II (oss. III) che 
(4) (YB)=(BY) (X'B)=(BX). 
Ora (BY) è maggiore di (BC) per costruzione, e quindi anche (Y'5') è maggiore 
