— 621 — 
di (C'B'); ((1), (4) e 13, Ir). Così per la stessa ragione (X'2') è minore di (0'2'); 
dunque l'elemento €' è compreso fra gli elementi Y" e X' (def. IV, 3). Si ha: 
(5) (=) 
perchè pel caso 1) 
(Tuoi =(V7A= (GAI) 
e (AM) Na (4Y) (6,3; (3); Is, oss. II; 9, 2). 
Se 0; è un elemento tale che 
(6) (40) = (0/4) 
siccome (AC) è maggiore di (AX) e minore di (A Y) ((2)), (CA) deve essere mag- 
giore di (XA) e minore di (YA) ((6), (3), I), e quindi 0 è pure compreso nel 
segmento (Y' X') (def. IV, 3). 
Se il numero 7 cresce indefinitamente (XY), e quindi anche (Y'X*)((5)), 
diventa indefinitamente piccolo (e, 5). Siccome ( Y' X') diventa indefinitamente pic- 
colo e 0" e €," sono sempre compresi in questo segmento essi devono coincidere (0, 4). 
Si deve dunque avere : 
(0° B)+(B'A)=(C'A)=(A4C), 
ossia 
(BC) +(AB)=(AC) nel senso suindicato ((1), oss. III). 
3) Supponiamo ora il caso che (458) e (BC) siano di verso opposto, considerandoli 
però sempre nel visultato nel verso di X, che supponiamo sia dato da (45). 
Il teorema dice che se si considera prima il segmento (B'4)="(C2) e poi il 
segmento (B'A')==(A4B), siha: (A4)=(40) 
B' A C B 
Se (CB)<(AB), (BA), (AC), (AB) sono del medesimo verso (def. I, IT, 3), e 
per la dimostrazione precedente si ha : 
(B'C)=(A4B)=(2'4') (IL, oss. III). 
Ma vi è un solo segmento uguale ad un segmento dato col primo estremo in 
un elemento dato qualunque del sistema (II); oss. I), dunque € e A" coincidono 
(def. V, 3), ossia (A4)== (AC). 
Se invece (C 2) > (45), (C A) ed (AB) sono dello stesso verso (def. I e def. II, 3) 
C A A B 
e quindi considerando un segmento (0 4°)==(A4B) si ha pel caso 2) 
(CA)=" (AB) 
ossia (AB)+(B0)=(8C)4#- (AB). 
Il teorema è dunque pienamente dimostrato (1). 
Oss. VII. La dimostrazione di questo teorema è indipendente dall'ipotesi del 
limite (IV), perchè (X' Y') contiene già gli elementi costanti €’ e C,. Bisogna però 
ammettere la divisibilità di ogni segmento in un numero qualsiasi 7 di parti uguali, 
(1) Enelide suppone tacitamente questa proprietà ad es: nella prop. II del libro V, ammette cioè: 
(P4+EB)+-(AZ+2=B+Z+B+Z 
(Euelidis Elementa. Ed. Heiberg, 1889). 
