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proprietà codesta che, sebbene più complessa, non include ancora il principio IV, ma 
che viene dimostrata per mezzo di esso (4, 5) (1). 
7. Oss. I. Considerando il sistema 2 e il suo opposto x" (def. IX, 3) coi prin- 
cipî precedenti non possiamo dir nulla intorno al confronto dei segmenti o intervalli 
di e 2", ossia non sappiamo se ad un segmento di X sia uguale un segmento 
di 3°. Riguardando X e 2" come un solo sistema, che indicheremo ancora con T, e 
quindi anche come un solo segmento il segmento (48) di X e il segmento (BA) 
di 2" (oss. VI, 8), non possiamo dire se due segmenti, che nel nuovo sistema 2 sono 
di verso opposto, siano uguali. Si ha però: 
a) Se (AB)=" (CD) si ha (BA)=(DC). 
Perchè è la stessa operazione a senso unico che noi eseguiamo sui due segmenti 
considerandoli in verso opposto (def. IX, 3); e la stessa operazione a senso unico ese- 
guita in cose identiche dà risultati identici (*). 
a') Un sistema X omogeneo in un verso è omogeneo anche nel verso opposto 
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PrInc.VI. Nel sistema X vi sono due segmenti (2'A),(4B) di verso 
opposto uguali fra loro. 
Der. I. Chiamiamo il sistema > che soddisfa ai principi I-VI sistema continuo 
ad una dimensione identico nella posizione delle sue parti (3). 
0) Dato un elemento qualunque X di X vi sono due segmenti di verso 
opposto coll'estremo comune X uguali ad un segmento qualunque dato di Z. 
Sia (YZ) il segmento dato. Dimostriamo dapprima il teorema per l'elemento A (VI). 
Nel verso di * dato da (YZ) (def. II, 3) vi è in SZ un solo segmento (AC) uguale 
a (YZ) col primo estremo in A (IT, e a). Se si ha (AC)="(A48) il teorema è il 
principio VI stesso. 
Se (A0)<(AB) per la corrispondenza d’indentità fra (48) e (42')(4) vi deve 
essere un elemento €’ corrispondente a © in modo che (4C')==(A4C). Tale proprietà 
vale anche per l'elemento _Y, perchè dato un segmento col primo estremo A in un 
dato verso vi è un segmento uguale al dato col primo estremo X nel verso dato (II, e @'). 
(1) Ad es: il sistema dei numeri razionali soddisfa a questa condizione. Ciò dimostra come non 
sia conveniente, specialmente in geometria, di definire il continuo mediante il continuo numerico, 
se si tien conto oltre che di altre ragioni (vedi nota (1) pag. 670), della semplicità dei principî ammessi, 
e che il continuo numerico è un caso particolare di una forma più generale (vedi oss. I, 605 e III, 608). 
(®) Questò è un principio di logica che deriva da quello d'identità (come si vedrà nel nostro 
libro) del quale bisogna però far uso in casi come questo nei quali non vi può esser dubbio sul- 
l’identità delle condizioni che determinano questi risultati, e quando non si può dare un’altra dimo- 
strazione per mezzo dei principî ammessi, come in questo caso. 
(8) Avremmo scelto volentieri una denominazione più breve, non potendo usare la parola omo- 
geneo. Abbiamo scelto quindi un’ espressione analoga a quella usata da Euclide nella definizione 
della retta. In un trattato di geometria elementare, poichè non si presentano in essa sistemi omo- 
genei che non siano anche identici nella posizione delle loro parti, si può usare la sola parola 
omogenzo. 
(4) Qui ci appoggiamo senz’altro al principio della corrispondenza d'identità fra gli elementi 
di due gruppi identici, che si trova discusso nel nostro citato lavoro, e col quale possiamo escludere 
il principio del movimento dei corpi senza deformazione dai principî della geometria teoretica. Qui 
l’esclusione è evidente trattandosi di forme o grandezze puramente astratte (vedi nota (2) pag. 670). 
