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Se invece (AC) > (48) vi deve essere un numero 72 tale che 
(AB) m<(AC)Z(AB)(mH4-1) (mm, 4). i 
Indichiamo con Bn @ Bm+, i secondi estremi di (45), (A48)(m-+1) e con 
Bim Bim: i secondi estremi di (423) m, (AB) (m+-1) (VI; 4 e IT). Si ha: 
(AB) m=(AB')m, (AB) (m+1)=(A4B')(m4-1) (VI; 0,2). 
Sia (Bn 0')== (Bn) nel segmento (2% B',n+.) considerando 2, come ele- 
mento XY, il che è possibile essendo (2, C)<(Bmn Bma)=(425). Ma si ha: 
(ABm) + (Bim 0) = (40), (AB'm)+(Bm C)=(A40), da cui, essendo (ABm=(A4B'm), 
(Bm C)= (Bim 0%), si ha (AC)=(A46) (IL, oss. ILL, 6 e Is). 
Il teorema è dimostrato per l'elemento A. E con una considerazione identica alla 
precedente per l'elemento XY, il teorema resta dimostrato per ogni elemento dato (!). 
c) (4AB)= (BA). 
1. Dimostriamo dapprima che se (AB)=(A48') sì ha: 
(BB) = (85) 
B Bi A IBS B' 
I segmenti (48) e (A42') sono diretti in verso opposto, altrimenti B coincide- 
rebbe con 2' (def. V,3 e IT), quindi (2"4) e (45) sono diretti nello stesso verso 
(def. I, def. IX, 3), ma non si sa se (AB) sia uguale a (B°A) (oss. I). Si ha però: 
(B'A) + (AB)==(B'B) (c, 2). 
Ma (B'A)="(BA) perchè per dato è (4B)=(48B) (4) (1) 
Inoltre (BA) +(A4B)=(22')=(B'4)+ (48) (IL, oss. III, 6), dunque 
(BB)=(58'B) (2) 
2) Supponiamo ora che (BA) non sia identico ad (42), e sia identico ad un seg- 
mento (423,) nello stesso verso di (42) (0), e quindi B, non coincida con £. L'ele- 
mento B, sia inoltre contenuto nel segmento (BA) (def. IV, 3). Vi è nel verso opposto 
di (48) a partire da A nel sistema ® un segmento 
(AB) =(A4B;) (0) (3) 
da cui 
(B' A)=(2:4) (0) 
e l'elemento 2’, è contenuto in (42) per l'identità dei segmenti (42) e (AB), (48,) 
e (AB) (I3, I). Inoltre da (2). 
(BB) = (3, Bi) (4) 
e per ipotesi 
(BA)= (AB) (5) 
(1) Nei trattati elementari di geometria che conosciamo il principio Il, è ammesso con lo scor- 
rimento della retta su sè stessa in un dato verso. Il teor. 4‘, sostituisce lo scorrimento della retta 
nel verso opposto. Il principio VI è contenuto nell’assioma molto più complesso secondo il quale 
la retta rigida può ruotare intorno ad ogni suo punto e passare per ogni punto dello spazio. Il resto 
di questo assioma sulla retta viene sostituito dal teor. 4). L'importante teor. c) è dato pure tacitamente 
o esplicitamente come assioma. Si noti inoltre che nelle nostre dimostrazioni non usciamo mai dalla 
retta, che è per noi la figura fondamentale della geometria, e che i nostri teoremi valgono per tutti 
quei sistemi continui geometrici ad una dimensione pei quali, mediante la loro costruzione, siano 
dimostrati i principî I-VI. 
