EQUO 
e poichè da (1) e (8) si ha 
(BA)=(A4B.)=(A4B';) (I) (6) 
ne segue : (AB')=(B,A4)=(B14) (0) (6°) 
Ora è 
(BA) + (AB')=(8B')=(A4B.))+ (84 4) ((5), (6), II: , oss. III, 6) 
considerati i segmenti dell'ultimo membro come consecutivi. Ma 
(AB,) + (B" A)=(B A)+(A4B.)=(B" B.) (a, 6) 
vale a dire a 
(BB)=(BhB) (7) 
Si ha pure: 
(BB')=(BB.)+(B1B)+(2815) 
ossia per la (4) 
(BB')= (BB) +(8'B))+(2:28') (oss. III, 6) 
intendendo come abbiamo già detto che in luogo di (2', B,) vi sia un segmento ad esso 
uguale e consecutivo di (82,), e così per (2',2') rispetto a (21 B,). Vale a dire con- 
frontando con la (7) si deve avere (582°) =0. Difatti se ciò non fosse sarebbe 
(BB')=[(BB.) {+ (B', B.))]+(223)>((B5.))+ (8 2.) (II, e Il), ed anche 
(BB) + (8, B.)>(B'B;) (II), ossia (BB) >(218:) (7,1), il che è assurdo 
((7) e I,). Dunque si ha anche (B5,)=0, vale a dire B e B,, B e 2 coin- 
cidono (Il), e perciò (AB) = (BA). 
Se invece B è contenuto nel segmento (45,), per l'identità dei segmenti (48) 
e (4B'), (AB) e (AB) si cade nel caso precedente. Dunque il teorema è in ogni 
caso dimostrato. 
Oss. II. In questo teorema come nel teor. 4) del n. 6 non ci serviamo dell'ipotesi 
del limite (IV) se ammettiamo però la divisibilità di ogni segmento in un numero x 
qualunque di parti uguali da cui allora dipende il teor. a), 6 (vedi oss. VII, 6). 
Oss. INT. Si potrebbero dedurre facilmente dal teor. 4 del n. 6 e dai principî 
precedenti altri teoremi fondamentali pel sistema omogeneo continuo ad una dimen- 
sione. Soltanto ci limitiamo ad osservare che il continuo numerico non è necessario 
per chiarire la continuità, ma è dal continuo omogeneo in generale che deduciamo 
quello particolare dei numeri reali, sia positivi che negativi, come il numero intero 
naturale deriva dal gruppo ordinato naturale, come si vedrà nell’introduzione delle 
nostre ricerche sui fondamenti della geometria. 
