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in coordinate cartesiane ortogonali le formole ed i risultati fondamentali, ai quali sì 
giunge nel $ I del presente studio per una varietà qualunque ed in coordinate 
generali. Il vantaggio di questo modo di rappresentare le congruenze di linee dipende 
da ciò che esso, a differenza dell'altro, che fa uso delle equazioni in termini finiti, 
contiene ciò, che occorre per la rappresentazione e nulla di più; ed è già messo in 
evidenza dalle formole dell’ illustre geometra citato, eleganti per semplicità e simmetria. 
Però, come spero sia per risultare a chi vorrà seguirmi nelle ricerche, che sto per 
esporre, i pregi della rappresentazione, di cui si tratta, sono essenzialmente collegati 
coi metodi del calcolo differenziale assoluto, il che dà forse ragione del non essere 
essa stata fin qui più largamente adoperata. 
Nella Introduzione si troveranno ancora dimostrati i teoremi, che contengono i 
criterî per riconoscere se una forma differenziale quadratica positiva ad x variabile, 
1:42, + On può provenire da altra a coefficienti costanti ad 2 0 ad #41 variabili, 
esprimendo queste opportunamente in funzione della x. Trattandosi di teoremi fonda- 
mentali, ho creduto opportuno il presentarne delle nuove dimostrazioni, le quali 
hanno sulle già note grandi vantaggi di semplicità dovuti ai metodi, di cui qui si 
fa uso. 
Nel $ I sono sviluppate le formole generali relative ai sistemi ortogonali di 
congruenze in una varietà qualunque ad 7 dimensioni. Esse conducono naturalmente 
a considerare AZZ) E 1) invarianti indipendenti dalla varietà fondamentale, in un 
senso, che verrà precisato, e che permette di darne una interpretazione cinematica 
riferendosi in vece che alla varietà fondamentale considerata, ad una varietà piana 
qualunque, in cui essa sia immersa. Se in un sistema ortogonale dato si considerano 
tre congruenze, e le loro linee si proiettano nello spazio piano a tre dimensioni de- 
terminato dalle tangenti ad esse condotte per un punto P qualunque, gli invarianti, 
di cui si tratta, rappresentano per le diverse terne di congruenze le rotazioni intorno 
alle direzioni iniziali dei suoi spigoli del triedro formato dalle tangenti a quelle 
proiezioni per uno spostamento infinitesimo del punto P lungo una qualunque di esse. 
In particolare gli invarianti con due soli indici distinti rappresentano le flessioni 
delle linee di due congruenze passanti per uno stesso punto e proiettate sul piano 
delle loro tangenti in quel punto. 
Si stabiliscono poi con grande facilità e sotto forma molto semplice le equazioni 
delle congruenze geodetiche, e se ne deduce la proprietà geometrica caratteri 
stica consistente in ciò che le loro proiezioni sui piani formati dalle tangenti in 
uno stesso punto ad una linea della congruenza data ed a quelle di x — 1 congruenze 
formanti con essa un sistema ortogonale abbiano nulle le flessioni in quel punto. 
Viene così naturale la estensione del concetto di curvatura geodetica e la sua rappre- 
sentazione mediante un vettore perpendicolare in ogni punto alla linea della congruenza. 
Con eguale facilità si riconosce che la proprietà caratteristica delle congruenze nor- 
mali consiste in ciò che quelli tra i triedri sopra indicati, un cui spigolo è tan- 
gente alla linea della congruenza, per ispostamenti infinitesimi dei loro vertici lungo 
uno qualunque degli altri due spigoli subiscano rotazioni, le cui componenti prese 
sempre secondo l’asse di spostamento siano eguali. Infine, supposto che una data 
