— 278 — 
congruenza sia normale e con essa considerando altre n —1 congruenze ortogonali 
ad essa e fra di loro due a due, per mezzo dei soliti invarianti si esprimono le 
condizioni di isotermia del sistema di superficie ad essa ortogonale e le formole che, 
soddisfatte queste, ne dànno i parametri termometrici. 
Il $ II ha per oggetto lo studio di certi sistemi di congruenze ortogonali, che 
godono di proprietà speciali rispetto ad una di esse detta fondamentale. Per esempio, 
se questa è normale e la varietà fondamentale è piana, le altre sono costituite dalle 
linee di curvatura delle superficie ad essa ortogonali. Gli stessi sistemi mi si 
erano già presentati nello studio dei sistemi di integrali ortogonali delle equa- 
zioni lineari ed omogenee a derivate parziali di 1.° ordine, ma le considera- 
zioni svolte nel $ I mi hanno di più condotto a riconoscere la loro proprietà cine- 
matica caratteristica la quale sta in ciò che quelli tra i triedri più volte ricordati, 
un cui spigolo è tangente alla linea della congruenza fondamentale, per ispostamenti 
infinitesimi dei loro vertici lungo l'uno o l’altro degli altri due spigoli subiscano ro- 
tazioni, le cui componenti prese sempre secondo l’asse di spostamento, siano eguali e 
di segni opposti ('). Si riconosce pure che ogni radice della equazione algebrica di 
grado x — 1, che si incontra nella determinazione delle congruenze, di cui si tratta, 
non è che la flessione della proiezione della linea appartenente ad una di tali con- 
gruenze sul piano determinato dalle tangenti ad essa ed alla linea della congruenza 
fondamentale; mentre le flessioni delle proiezioni di questa sui medesimi piani sono 
rappresentate da altre incognite, che compaiono nei sistemi di equazioni lineari, 
che conviene risolvere per stabilire le equazioni differenziali canoniche di dette 
congruenze. 
Nel $ IV si deducono dai risultati generali del $ III speciali conseguenze per 
il caso delle varietà a tre dimensioni. Per la esistenza di due sistemi di -superficie, 
che si taglino ad angolo retto lungo le linee di una congruenza data, si ha allora 
una sola condizione rappresentata da due equazioni, che si equivalgono, ciascuna delle 
quali contiene una radice di una equazione di 2.° grado. Nel caso che la varietà 
fondamentale sia piana e che la congruenza fondamentale sia normale, il Weingarten 
riescì ad eliminare quella irrazionalità; e ciò ho fatto io pure in questo paragrafo, 
qualunque siano la varietà e la congruenza fondamentali. 
Nel $ V vengono stabilite le equazioni fondamentali della teoria delle superficie 
adn dimensioni intese nel senso da me indicato altra volta, cioè delle varietà ad 7 
dimensioni contenute in una varietà euclidea ad x +1 dimensioni. Le formole, a cui 
si giunge, sono la naturale estensione di quelle di Gauss e di Mainardi e Codazzi e 
scendono direttamente da quelle, che stabilii altrove (?), e che riguardano le condizioni 
necessarie e sufficienti perchè una forma sia di 1° classe; delle quali ho data nella 
Introduzione una nuova dimostrazione diretta. Queste formole assieme ad altre del $ 1, 
le quali provengono pure direttamente dalle formole fondamentali del calcolo diffe- 
(1) Si veda la mia Memoria, Sui sistemi di integrali indipendenti ecc. nel tomo V della serie 2° 
degli Annali di matematica pura ed applicatta. 
(2) Principî di una teoria delle forme differenziali quadratiche (Annali di matematica pura ed 
applicata, serie 2°, tomo XII). 
