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che chiamerò per questa ragione smbol? di Riemann. Tra questi hanno luogo le 
relazioni identiche 
9 Art,su= AUsunrt 3. Arts + Utr,su = 0 
(2) veto 
Apt,su + Uru,ts + Urssut = O) b) 
n(n°-1) 
per le quali il numero di quelli indipendenti fra di loro si riduce ad Rane Per 
i simboli di Riemann valgono le formole di trasformazione 
(3) (dp,mg) = Dit: CIA DD RD pd _ 
In particolare per z= 2 i simboli di Riemann essenzialmente distinti si riducono ad 
uno solo, cioè al simbolo 412,12 e, posto 
(4) a.G= 912 > 
le (3) si riducono pure ad una sola, la quale ci dice che G è un invariante. Esso 
verrà qui designato col nome di invariante di Gauss. 
Per n=3 i simboli di Riemann fra loro indipendenti si riducono a sei; e, se 
sì conviene di riguardare come equivalenti gli indici congrui rispetto al modulo 3 
e si pone 
o) 
(5) BED = Ar+11+2,8+15+2 > 
sì possono in loro vece considerare i simboli a. Le formole (8) sono allora sosti- 
tuite dalle 
(6) (a 00) = Dia AID yp Ya® 
2. Chiamo sistema m'?!° o di ordine m ad n variabili x, ,%2,... n l' insieme 
di tutte le n” funzioni, distinte o no, di queste variabili, che possono rappresentarsi 
con uno stesso simbolo ad 7 indici, ciascuno dei quali può assumere i valori 1,2... 2; 
per esempio col simbolo X,, x, rm Per generalizzazione si può riguardare una fun- 
zione considerata isolatamente come un sistema di ordine o. Le funzioni, che costi- 
tuiscono un sistema, si diranno elementi del sistema; e questo si dirà simmetrico se 
saranno identici gli elementi corrispondenti ad una stessa combinazione con ripetizione 
della classe 7 degli indici 1,2,...%. 
Un sistema può dirsi i2varzabile, se i suoi elementi non variano al variare del 
sistema delle variabili indipendenti, se non in quanto alle antiche si sostituiscono le 
loro espressioni per le nuove variabili. Si dirà invece che un sistema è variabile se, 
sostituendosi ad un sistema di variabili x un nuovo sistema di variabili y, non sol- 
tanto in ogni elemento del sistema alle # si sostituiscono le loro espressioni per le y; 
ma sugli elementi stessi si eseguisce una determinata sostituzione. Per definire un 
sistema variabile è dunque necessario non soltanto darne gli elementi per un deter- 
minato sistema di variabili indipendenti; ma stabilire altresì la sostituzione da ese- 
guirsi sugli elementi in dipendenza da ogni sostituzione eseguita sulle variabili. 
Definito poi in tal modo un sistema, esso dovrà riguardarsi come qualche cosa di 
assoluto, cioè come dotato di un carattere indipendente dalla scelta delle variabili. 
