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La sostituzione da eseguire sugli elementi di un sistema variabile può riguar- 
darsi come arbitraria, purchè data per ogni cambiamento di variabili indipendenti. 
Però essa è in generale determinata dal significato analitico, geometrico, fisico ecc. 
degli elementi del sistema, se tale significato deve rimanere inalterato di fronte a 
qualunque sostituzione eseguita sulle variabili. Se, per esempio, un sistema semplice 
è definito come avente per elementi le derivate prime di una funzione U rispetto alle 
variabili indipendenti, qualunque del resto queste siano, e se alle variabili si so- 
È) 
DIR . i U 
stituiscono le y, sugli elementi U, = 
ddr 
dovrà in pari tempo eseguirsi la sostituzione 
(U,)= DU, 2,®. 
Del pari, se un sistema è costituito in ogni caso dai coefficienti delle U, nella forma 
lineare 
> X® U,, 
«sui suoi elementi dovrà eseguirsi la sostituzione 
(KM)= Dil XM yo. 
Se, £ essendo un parametro qualunque, dal quale le variabili 21, 42, ... #» dipendono, 
sì pongono le da 
> dt 
cioè la sostituzione 
= ©, sulle 4” dovrà eseguirsi la stessa sostituzione che sulle X, 
(40) = DE AO yp® . 
Del pari, se si considerano i sistemi doppî simmetrici, che hanno per elementi i 
coefficienti della forma differenziale g e quelli della reciproca, le sostituzioni da 
eseguirsi sui loro elementi per la sostituzione di nuove variabili y alle 4 saranno 
quelle assegnate dalle formole (1) e (2); per il sistema quadruplo costituito dai sim- 
boli di Riemann tale sostituzione è invece data dalle (3). 
3. I sistemi citati sopra come esempî di sistemi variabili appartengono all'uno 
od all'altro di due tipi, ai quali limiterò in seguito le mie considerazioni. Il primo 
tipo è quello dei sistemi covarzanti rispetto alla forma g, cioè di quei sistemi di 
ordine qualunque 7, sui cui elementi X,,,,.-r,, per la sostituzione delle variabili y 
alle #, si eseguisce la sostituzione 
(1) (Xp,p2--2,) SÉ Na Krirgta Prg SIÒ Ure, see Erg Po. 
A questo tipo appartengono i sistemi semplici, che risultano delle derivate prime di 
una funzione, il sistema doppio, che risulta dei coefficienti di una forma differenziale 
quadratica, ed il sistema di 4.° ordine, che ha per elementi i simboli di Riemann. 
Per gli elementi dei sistemi covariauti farò sempre uso di simboli cogli indici in basso. 
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