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Il secondo tipo è quello dei sistemi cortrovarianti di ordine qualunque 7, cioè 
di quei sistemi, i cui elementi Y:"-"», per la sostituzione delle variabili y alle x 
vengono sostituiti dagli elementi 
PiPa:Pm)\ — (NURIA) (CAO) (C45D) mi 9 
(11) (Aero Za e 
Per esempio sono sistemi controvarianti il sistema semplice, che risulta delle deri- 
vate prime delle variabili indipendenti rispetto ad un parametro; quello, che risulta 
dei coefficienti delle derivate prime di una funzione arbitraria delle variabili indipen- 
denti in una espressione lineare ed omogenea nelle derivate stesse; il sistema doppio, 
che ha per elementi i coefficienti della forma reciproca ad una forma differenziale 
quadratica; e, nel caso di 2 — 3, il sistema doppio simmetrico, i cui elementi «© 
sono definiti dalle (5). I sistemi di ordine o in questa teoria sono propriamente %n- 
varianti, ma possono essere considerati tanto come covarianti, quanto come controva- 
rianti, perchè la sostituzione identica (U) = U rientra tanto nel tipo (I), quanto nel 
tipo (II). 
Si osservi ancora che: 
1.° Se gli elementi di un sistema covariante o controvariante sono identicamente 
nulli per un sistema di variabili indipendenti, come risulta dalle (1) e dalle (II), lo 
sono per qualunque sistema. Da ciò dipende anzi in gran parte la importanza dei 
metodi di calcolo differenziale assoluto, poichè, come si vedrà, per la proprietà 
accennata, le equazioni stabilite con tali metodi valgono per variabili affatto generali. 
Si dirà identicamente nullo un sistema covariante o controvariante, se lo sono tutti 
i suoi elementi, 
2.° Se gli elementi di un sistema S, covariante o controvariante, per un certo 
sistema di variabili indipendenti si possono riguardare come ottenuti sommando gli 
elementi di eguali indici di p sistemi di uno stesso ordine 72, Sì , Se, ... Sp, tutti della 
stessa natura covariante o controvariante, ciò avviene per un qualunque sistema di 
variabili. Il sistema S, che è esso pure di ordine 7, e rispettivamente covariante 0 
controvariante, si dirà allora somma dei p sistemi S,,S2,.. Sp. 
3.° Se gli elementi di un sistema S per un certo sistema di variabili indipen- 
denti si possono riguardare come ottenuti moltiplicando fra di loro gli elementi generici 
di p sistemi S,, S»,... Sp di egual natura covariante o controvariante, rispettivamente 
degli ordini 91,92;--9p; la stessa cosa avviene per qualunque sistema di variabili. Il 
sistema S è esso pure covariante o controvariante e di ordine 71 + de + + 4 € SÌ 
dirà prodotto dei p sistemi Si, Se ,..Sp. In particolare il prodotto di un sistema co- 
variante o controvariante di ordine 7 per una funzione invariante è un sistema dello 
stesso ordine e della stessa natura 
4.° Se si hanno un sistema covariante di ordine 7, X,,,,,...:,,, ed un sistema con- 
trovariante di ordine p, YY:":", ed è m = p, il sistema di ordine m—p e di 
elementi 
— (att) 
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