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5. « Se un sistema di ordine 7 e di elementi X,,,,...,,, è covariante, è pure tale 
« il sistema di ordine 7-1, i cui elementi X,,,,...r si hanno ponendo 
AES AXysras, Le 
e (18) x 1 
(@) Krirarma ra da Dos Q h Crtima 1 Xrprp tm ( ). 
Tm+1 l 
mM'mti 
Coll’ aiuto della forma fondamentale g si passa dunque da un sistema covariante 
di ordine m ad un altro sistema della stessa natura di ordine m + 1 e ciò mediante 
le operazioni (a) da eseguirsi contemporaneamente su tutti gli elementi di un si- 
stema ed il cui insieme può riguardarsi come una operazione da eseguirsi sul 
sistema proposto. Questa operazione si dirà derivazione covariante secondo la forma 
fondamentale g ed il sistema X,,r...rytm,, Sistema derivato secondo la forma fon- 
damentale dal sistema X,,,,...,,- In particolare se il sistema proposto è di ordine 0, 
cioè risulta di una sola funzione U, il sistema di 1° ordine, che se ne ottiene colla 
derivazione covariante secondo una forma fondamentale qualunque, ha per elementi 
le derivate prime della funzione U. Per un sistema di 1° ordine di elementi X, gli 
elementi del sistema derivato secondo la forma fondamentale 4 sono dati dalle 
formole 
dX, 
(21) en Ays,p I, 
Si osservi poi che, se la forma g espressa per le variabili x risulta a coefficienti 
costanti, gli elementi del sistema derivato da un sistema qualunque mediante la de- 
rivazione covariante secondo g per le variabili stesse coincidono colle derivate degli 
elemerti del sistema primitivo. 
« In generale gli elementi del sistema derivato da un sistema X,,r,..r, sì desì- 
« gneranno aggiungendo un nuovo indice in basso al simbolo, con cui si rappresentano 
« gli elementi del sistema primitivo ». 
Partendo dalle formole (@) si dimostrano poi facilmente i seguenti teoremi: 
1.° « La derivazione covariante secondo una forma fondamentale qualunque è ope- 
« razione distributiva ». 
2.° « Il sistema derivato secondo una forma fondamentale dal prodotto di p 
« sistemi è eguale alla somma di p sistemi, ciascuno dei quali è il prodotto di p — 1 
dei sistemi fattori per il sistema derivato dal fattore omesso ». 
3.° « Il sistema derivato da un sistema simmetrico di ordine m è simmetrico ri- 
« spetto al suoi primi 72 indici ». 
4.° « Il sistema derivato secondo una forma fondamentale qualunque dal sistema 
« dei suoi coefficienti è identicamente nullo ». 
Come da un sistema covariante di ordine # per mezzo della derivazione cova- 
riante secondo una forma fondamentale si trae un primo sistema derivato covariante 
(1) Questo teorema fondamentale sul calcolo differenziale assoluto fu dimostrato la prima volta 
dal Christoffel nella sua Memoria Veder Die Transformation der homogenen Differentialausdricke 
zweiten Grades (Giornale di Borchardt, vol. 70°), come sussidio alla teoria della trasformazione delle 
forme differenziali quadratiche. 
