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d'ordine 72.-+ 1, così da questo se ne può trarre uno di ordine 72 + 2, che si dirà 
secondo sistema derivato dal sistema proposto secondo la forma fondamentale e così 
di seguito, fino ad ottenere un pS° sistema derivato, che sarà pure covariante e d’ or- 
dine m4- p. 
Ora si dimostra che 
5.9 « Perchè un sistema d'ordine m + 1, X;,x...ryrmy POSSA riguardarsi come 
« derivato secondo la forma fondamentale g da un sistema di ordine # è necessario 
«e basta che gli elementi X,,,,...,, di questo possano determinarsi in modo da sod- 
« disfare identicamente alle equazioni 
mM 
P “o Ea DA Va = G Di Arr 
lo) RESINE PIERRE 
( ) « Xn. Tm m+1m+2 "m' mt2° mt1 m+1 mt 1 411° m 
« In particolare per m=1 queste formole diventano 
(Î1) c Xyst = Xrts == DIS XD AUprist 9?» 
Supponendo invece #2 = 0, si ha che 
« Perchè un sistema semplice risulti delle derivate di una funzione rispetto allo 
« variabili indipendenti, è necessario e basta che il sistema derivato da esso mediante 
« la derivazione covariante secondo una forma fondamentale qualunque sia sim- 
« metrico ». 
6. « Se un sistema di ordine 72 e di elementi XY1%2-m) è controvariante, è pure 
« tale il sistema di ordine 70-+-1, i cui elementi si hanno ponendo 
MO 10, RO 0) 
dada. Il 
Dunque per mezzo di una forma fondamentale g si può passare da un sistema 
controvariante di ordine 7 ad un nuovo sistema della stessa natura di ordine 72 + 1 
e ciò mediante le operazioni (8), che prese insieme possono considerarsi costituire 
un'unica operazione da eseguirsi sul sistema primitivo. XY:»""»). Una tale opera- 
zione si dirà derivazione controvariante secondo la forma fondamentale @ ed il si- 
stema di elementi X"2"%m+ sistema derivato dal primitivo secondo la forma stessa. 
« In generale gli elementi del sistema derivato si rappresenteranno cogli stessi 
« simboli, che valgono per qualli del primitivo, aggiuntovi un nuovo indice in alto ». 
Anche la derivazione controvariante applicata p volte di seguito conduce da un 
sistema primitivo controvariante di ordine 7 ad un sistema della stessa natura di 
un ordine qualunque 72 + p. 
Si hanno poi i seguenti teoremi : 
1.° « Se un sistema Z,,r ..r, è composto di un sistema controvariante 
« YS%% e di un covariante Xs,s,...sprir;.rm 5 SC cioè si hanno le 
(S152e 
ZONA ara È DOD a 
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