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« valgono pure le 
ABS, (81 52++:8) 
È Zi, = 319,9, È “ DG 190009 ANAIORI 
Ù 1) m' mi 
m m+1 
(SjS90018,, S, ) 
3P DI II x di ORE, Us 
n ». 
pt mti 
S1S20Sp item 
2.° «I primi sistemi derivati secondo una forma fondamentale da due sistemi 
« reciproci rispetto ad essa sono essi pure reciproci ». 
Questo teorema si deduce con facilità dal precedente ricordando la definizione 
data sopra pei sistemi reciproci ed i teoremi 2.° e 4.° del n. 5. 
3.° « Se Z è un invariante composto di due sistemi dello stesso ordine, di cui 
« uno sia covariante e l'altro controvariante, se cioè si ha 
and (S1Sac=S0) 
«Z4= DEA Ù 22 GI, , 
p 
« per le derivate prime di Z valgono le espressioni 
di 
rai (INTENSIVO) (S4S91+8,) 
e i E nd 
La dimostrazione di questo teorema si deduce dal 1.° per m=0 e dal 2.°. 
Il teorema 2.° è importante perchè permette di sostituire alla considerazione 
dei sistemi controvarianti quella dei sistemi covarianti reciproci, e riconduce la deri- 
vazione controvariante alla covariante. Esso di più stabilisce una specie di dualità 
fra gli uni e gli altri sistemi, la quale permette di dedurre da ogni teorema un teo- 
rema reciproco col solo scambio delle parole covarzante e controvariante e di ogni 
sistema col reciproco. Quindi ogni sistema di formole è suscettibile di due diverse 
espressioni, le quali si ottengono l’ una dall’ altra col semplice trasporto degli indici 
dal basso all’ alto e viceversa. 
Così assieme ai teoremi dimostrati nel n. 5 poi sistemi covarianti valgono pure 
i loro reciproci pei sistemi controvarianti. Per esempio ai teoremi 4.° e 5.° corrispon- 
dono i seguenti reciproci: 
4.° « Il primo sistema derivato secondo una forma fondamentale dal sistema 
« dei coefficienti della sua reciproca è identicamente nullo ». 
5.° « Perchè un sistema di ordine 72 + 1, X:"::"#m+®, possa riguardasi come 
« derivato da un sistema di ordine 72, XY:"”», è necessario e basta che gli elementi di 
« questo possano determinarsi in modo che risultino identicamente soddisfatte le 
« equazioni 
Mm 
Kam mt +2) X (CARI Va Tralm- mt) 2a » Dr ali STEN TI0000) X (or «ed 18441 n) ; 
ZL_rs Ars 
Il sistema reciproco delle derivate di una funzione qualunque U rispetto alle va- 
riabili indipendenti, cioè il sistema di elementi 
dU 
(17) sai (CO) 
soa Da dn 
