= Ro 
può riguardarsi come derivato per derivazione controvariante secondo g dal sistema 
di ordine o U. Dal teorema 5.° si ha dunque come caso particolare il seguente: 
« Affinchè un sistema U® possa riguardarsi come derivato da una funzione U 
« secondo una forma fondamentale 4 è necessario e basta che il sistema derivato da 
« esso secondo @ sia simmetrico ». 
7. Perchè una forma differenziale quadratica positiva ad x variabili 
par Bir Ars dx, das 
possa trasformansi nella 
n» 
07) = Da dy*, ’ 
è necessario e basta che si possano determinare 7 funzioni 7/1, Y2,Yn5 Ai 21, da, 00 Wan 
le quali soddisfacciano al sistema di equazioni a derivate parziali di 1° ordine 
(7) da YnjrYnls= rs 3 
d , ? È = c . 
a . Se a questo si applica la derivazione co- 
r 
variante secondo , ricordando îi teoremi del n. 5, si giunge immediatamente alle 
Da Ynyr Ynjse + Don Ynls Yale =0- 
Queste combinate colle yrje = %nys danno le 
nelle quali si è scritto yz, invece di 
(8) Dm YnlrYiysa= 0, 
ovvero le 
(71) ) Ynjst= 0, 
poichè, per le (7), il determinante del sistema (8), in cui le y,j si riguardino come 
incognite, è eguale a Y/4. Se ora si suppone che per la forma g il sistema dei sim- 
boli di Riemann sia identicamente nullo, le equazioni (d,) assumono la forma 
XKrs = Xris ’ 
e, dalle (7,) ricavandosi con una ulteriore derivazione covariante secondo $ le 
Ynjstu = 0 ’ 
risultano soddisfatte dalle y,,,s, se queste soddisfanno alle (7,). Nella ipotesi 
fatta il sistema di equazioni differenziali, che comprende le (7) e (7,), è dunque 
illimitatamente integrabile, ed il suo sistema integrale generale ammette x costanti 
ni nn — 1 
additive ed sal) 
noscere, possono assumersi le costanti arbitrarie di una sostituzione ortogonale ad 7 
variabili. 
Così risulta dimostrato che l’ annullarsi identicamente dei simboli di Riemann 
è condizione sufficiente per la trasformabilità della forma g nella w. Che essa sia 
costanti non additive, per le quali, come sarebbe facile rico- 
