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necessaria risulta dal fatto che i simboli di Riemann costituiscono un sistema cova- 
riante e sono identicamente nulli per la w. 
8. Dimostrerò ora il seguente teorema : 
« Perchè una forma differenziale quadratica positiva ad » variabili 
Piz DIR Ars dx, das 
« possa dedursi dalla 
n41l 
07) = Za dyni , 
« ponendovi per le y, certe funzioni delle #,,%>,...%n, è necessario e basta che sì 
« possa determinare una nuova forma 
e DIS Dys da, da, 
« tale che: 1°) i minori di 2.° ordine ottenuti dal suo discriminante conservando le 
« righe di posti 7 e { e le colonne di posti s ed % coincidano coi simboli di Riemann 
« Grissu Yelativi alla forma 4; 2°) il sistema derivato mediante derivazione covariante 
« secondo g da quello di elementi d,s sia simmetrico ». 
Evidentemente si tratta di stabilire le condizioni necessarie e sufficienti per la 
integrabilità del sistema di equazioni a derivate parziali di 1.° ordine 
n+1 
(9) da YnyrYnis= Ars » 
Come nel caso considerato sopra, mediante la derivazione covariante secondo g da 
queste si traggono le 
n+il 
DE Ynh YnJst = (|) 
di 
1 
(10) 
Se ora si osserva che il quadrato della matrice del sistema di equazioni algebriche 
n+1 
(11) Dr Ynjr en=0 
1 
è uguale ad 4 e quindi non è identicamente nullo, se ne conclude che esso ammette 
una ed una sola soluzione indipendente. Indicando con A, il minore, che si ottiene 
dalla detta matrice sopprimendo la colonna di posto %, possiamo prendere per tale 
soluzione 
(12) 2, = (MTA. 
Va 
e dalle (10) segue che le y;,s debbono avere espressioni della forma 
(9) Ynhrs = €h dios ’ 
rappresentando con d,; gli elementi di un sistema doppio simmetrico, il quale risul- 
