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terà covariante, perchè tale è il sistema yxys e, come è facile riconoscere, le 2, sono 
invarianti assoluti. Dalle (12) si trae la 
n+t1 
(13) dDagg=1, 
1 
e da questa le 
n+1 
DI Sn &nls 0. 
i 
(14) 
Applicando poi la derivazione covariante alle identità, che si traggono dalle (11) 
sostituendovi per le x i valori (12), e ricorrendo alle (9,), si ottengono le 
n+l 
Dr Ynr EnJ,sE= 77 dys . 
I 
Risolvendo queste e le (13) sispetto alle 2,,s troviamo per queste le espressioni 
(15) pe Da Yn® bp È 
Se ora si derivano ancora covariantemente secondo 4 le (9,) e per le derivate 
delle z, si sostituiscono le espressioni testè determinate si giunge alle 
Ynhst = éh Dyrst = d dys DE YP dpi . 
Se nelle (d,) alle X,s si sostituiscono le y7ys, esse assumono quindi la forma 
Eh (Drse STA dj15) =_= DO Yn® (Apr, st + Dpi dis > bps dre) % 
Queste poi per le (11) e (13) non possono essere soddisfatte se non lo sono sepa- 
ratamente le 
(G) Dps ba — Dpi a = Aprist 
(0) Drse = bets . 
Perchè il sistema, che risulta delle (9) e (9), sia integrabile è dunque necessario 
e sufficiente che il sistema doppio simmetrico di elementi 2, si possa determinare 
in modo da soddisfare insieme alle equazioni (G) e (C) ; e in ciò sta la dimostrazione 
del teorema enunciato (!). Verificate poi queste condizioni, quel sistema è illimitatamente 
integrabile e il suo sistema integrale generale contiene 2 + 1 costanti arbitrarie addi- 
tive ed sac) costanti non additive, per le quali si possono assumere quelle, che 
sono contenute in una sostituzione ortogonale qualunque ad 2 +1 variabili. Si rico- 
nosce infatti facilmente che, se y1°” y2° .... yn+1” è un sistema integrale particolare 
del sistema di equazioni differenziali, di cui si tratta, e con @x si designano i coeffi- 
cienti di una sostituzione ortogonale arbitraria ad x + 1 variabili, con @,, @2,...@Qn+i 
n+1 costanti qualunque, lo stesso sistema è soddisfatto ponendo 
n+1 
Yn= Za Cnn YO HA ar. 
(?) Questo teorema fu da me dimostrato nella Memoria Sui principî di una teoria delle forme 
differenziali quadratiche, pubblicata nel tomo XII della Serie 2% degli Annali di matematica pura 
ed applicata. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE, ecc. -- MeMmorIE — Vol. II, Ser. 52 37 
