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o. Stabilito il significato dagli invarianti y»; introdotti colle posizioni (4) mi 
occuperò ora di risolvere alcune questioni fondamentali nella teoria delle congruenze 
considerate come definite dalle loro equazioni differenziali 
da, 
ds 
—: 19. 
Si ricerchino dapprima le condizioni necessarie e sufficienti perchè le linee rap- 
presentato da queste equazioni, cioè appartenenti alla congruenza di sistema coordi- 
nate controvariante 4, siano geodetiche nella varietà fondamentale; 0, come dirò 
brevemente, perchè la congruenea 4, sia geodetica. Per uniformarmi alle nota- 
zioni già introdotte porrò 4, =%,,, e designerò con Z,r,%z;rZn-yr i sistemi 
coordinati covarianti di altre r—1 congruenze ortogonali fra di loro due a due ed 
alla congruenza 4, nella varietà fondamentale. Lungo le linee 4, sì considerino le 
variabili #, come funzioni di una sola variabile indipendente qualunque # e si facciano 
le posizioni 
ds pd; 
sani a ITT, 
Sì avrà 
r / 
s°= DES OCILIACA ’ 
e le (2) assumeranno la forma 
da=GUD 
Si indichi con ds' la variazione prima di s'. Dalla espressione riportata sopra per s'? 
si ricaverà per questa la espressione 
dg = Da À, di + s' da dx, Va Ars,t NORD 
LORI 
s=f SUE, 
lo 
si ha poi per la variazione ds di s la espressione 
Posto 
bi 
ds === ds DE ÙL, DE 20 is o) 
to 
e ne segue che le equazioni 
(13) Doll iI 
dànno le condizioni necessarie e sufficienti per l’annullarsi identicamente della varia- 
zione prima di s. Esse sono quindi le equazioni delle congruenze geodetiche in una 
varietà qualunque e, per le (#°), equivalgono alle 
(13’) Inin = 0, 
che, per le (5'), sono in numero di 2—1. 
